Séminaire des doctorants

Avril 2024

• Vendredi 26 avril 2024 - 15h - Perrine JOUTEUR (Université de Reims)

  Analogues quantiques des nombres rationnels

  Les q-analogues de nombres sont issus d'une déformation des nombres
  entiers qui consiste à introduire une variable formelle "q", en
  remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu'on retrouve
  le nombre initial en faisant tendre q vers 1. Cette idée sous-tend par
  exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour
  aborder des problèmes combinatoires. Depuis le XVIIIème siècle, les
  q-nombres ont fait leur apparition dans de nombreuses branches des
  mathématiques, des formes modulaires aux groupes quantiques, en passant
  par l'analyse des séries hypergéométriques.
  Malgré ces succès, il a fallu attendre les années 2020 pour avoir une
  bonne déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière
  satisfaisante les propriétés combinatoires des q-entiers. On verra
  comment définir ces q-rationnels, en donnant trois points de vue
  équivalent sur cette construction, via une action du groupe modulaire,
  via des fractions continues et via le pavage de Farey. On donnera
  également des interprétations combinatoires et géométriques de ces
  q-rationnels, par analogie avec les modèles combinatoires décrit par les
  q-nombres entiers.

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Mars 2024

• Mercredi 27 mars 2024 - 16h30-Clément LEGRAND

  Théorie des nœuds et polynôme d’Alexander

  La théorie des nœuds a commencé vers 1860 avec Gauss et Tait. La physique de l’époque laissait penser que les atomes pouvaient être des nœuds, et c’est dans contexte que Tait entreprit de faire une classification des nœuds. Aujourd’hui la théorie des nœuds est étudiée principalement pour ses liens avec la topologie et possède de nombreuses applications en mathématiques et en physique théorique. Dans cet exposé nous donnerons dans un premier temps une définition mathématique du concept de nœud, ensuite nous introduirons le polynôme d’Alexander qui est un outil permettant de distinguer les nœuds.

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• Mercredi 13 mars 2024 - 16h30 - Martin METODIEV

  Introduction aux statistiques bayésiennes

  Comment incluons-nous les connaissances préalables dans notre prise de décision? Les statistiques bayésiennes répondent à cette question de manière intuitive et simple. Dans cette présentation, je vais donner un aperçu des concepts de base des statistiques bayésiennes: la distribution postérieure, les priors dans des situations conjuguée, le prior de Jeffreys et les tests d'hypothèses bayésiens. Je vais illustrer chacun à travers un petit exemple.

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Février 2024

• Mercredi 21 février 2024 - 16h30 - Frédéric A. HAYEK (LIMOS)

  Generic and Universal Local Cryptocurrency: LCoin

  Different cryptocurrencies aim at solving different problems or offering different services. One underused application of cryptocurrencies is local currencies. Local currencies are currencies that float in a restricted area in purpose of growing the local economy by forcing local spending. Current digitalizations of local currencies have many drawbacks, whether taking the form of cryptocurrencies or not. We introduce the concept of geographical demurrage: money loses of its value the farther away it is spent. We construct four generic types of local cryptocurrencies: a regular one mimicking local paper money; a second that restricts spending to the dedicated geographical area; and a third that utilizes geographical demurrage for incentivizing shops. Finally, by lifting the geographical restrictions and maintaining geographical demurrage, we create a universal local cryptocurrency: a currency that loses value correspondingly to the distance between its point of reception and point of spending. So without the need to restrict spending to a given geographical sphere, the currency will always encourage local spending, no matter where it is spent; yielding a universal local cryptocurrency we name LCoin.

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• Mercredi 21 février 2024 - 17h15 - Tristan GUYON (LMBP)

  Passer de l'arithmétique à l'arithmétique à virgule flottante : quelques conséquences pour les simulations numériques

  Le programmation pour le calcul scientifique nécessite de pouvoir émuler des opérations entre nombres réels et pose des problèmes d'approximation bien connus. Le but de cet exposé est de dresser un panorama de quelques dangers spécifiques au calcul numérique, quand ce qui est exact analytiquement devient instable numériquement. L'accent sera mis sur les situations où la stabilité numérique peut être entièrement rétablie.
  Après avoir introduit quelques concepts clés sur la représentation des nombres réels en machine, je présenterai une sélection de problèmes concrets que j'ai rencontrés dans mon projet de recherche ainsi que le traitement ayant permis leur résolution.

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Janvier 2024

• Mercredi 31 janvier 2024 - 16h30 - Julian LE CLAINCHE

  Mesures et dimension fractales

  La notion de fractale n'a pas de définition propre, elle sert généralement à décrire des objets géométriques "irréguliers à toutes les échelles" tels que le flocon de Von Koch, l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble triadique de Cantor, des côtes géographiques,...
  
  Généralement, ces ensembles sont assez mal décrits par les mesures de Lebesgue (par exemple l'ensemble de Cantor est non-dénombrable - donc de mesure de comptage infinie - mais sa mesure de Lebesgue 1-dimensionnelle est nulle). Pour les étudier, on va donc introduire une famille de mesures appelées mesures de Hausdorff qui va nous permettre de définir une notion de dimension fractale. On terminera l'exposé en calculant la dimension de certains des objets cités plus haut.

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Décembre 2023

• Mercredi 20 décembre 2023 - 16h30 - Doctorants LMBP

  Séminaire de Noël

  Bonbons, couleurs et méthode scientifique !

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• Mercredi 13 décembre 2023 - 16h30 - Thi Hoa NGUYEN

  Introduction à la cohomologie de Hochschild

  La (co)homologie de Hochschild est une branche importante de l'algèbre homologique qui trouve des applications dans divers domaines des mathématiques, y compris l'algèbre, la topologie et la géométrie. Elle a été introduite par Gerhard Hochschild dans les années 1940, en même temps qu'Eilenberg et Mac Lane présentaient l'homologie et la cohomologie des groupes, et Hochschild introduisait l'homologie et la cohomologie des algèbres.
  
  Pour comprendre la cohomologie de Hochschild, commençons par considérer la notion de "(co)homologie" elle-même. Je vais débuter en définissant quelques notions d'algèbre homologique : les algèbres sur un anneau, les modules sur une algèbre, les complexes, les (co)homologies, le complexe de Hochschild, etc.

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Novembre 2023

• Mercredi 29 novembre 2023 - 16h30 - Geoffrey Lacour

  Solutions faibles globales pour un problème de particules en sédimentation dans un fluide non-newtonien

  Dans cet exposé, nous présenterons l'étude d'un modèle de suspensions de particules dans un fluide d'Ostwald-DeWaele avec un coefficient de viscosité dépendant de la densité et potentiellement dégénéré.
  
  L'analyse des problèmes associés à de tels systèmes est un sujet de recherche très actif, à l'origine de nombreux résultats récents, notamment dans le cas de particules sédimentant dans un fluide newtonien (voir par exemple les travaux de D. Cobb, R. Höfer, A. Mecherbet, R. Schubert, F. Sueur). Nous allons considérer le cas où des particules sont en suspension dans un fluide non newtonien en loi puissance. D'un point de vue mathématique, cela se caractérisé par une équation de Stokes-Transport avec la particularité que l'équation de Stokes est non linéaire, le terme de viscosité étant exprimé comme un p-Laplacien pour le gradient symétrisé. Après avoir brièvement contextualisé le problème, nous présenterons notre résultat : l'existence de solutions globales ayant énergie finie.
  
  Afin de montrer que nous définissons bien une équation scalaire active, c'est-à-dire une équation dans laquelle la densité relative des particules en suspension dans le fluide donne un sens à une solution du système par le biais d'une application d'inversion, il est alors nécessaire d'utiliser des méthodes de monotonie associées à des techniques issues de la théorie de DiPerna-Lions pour établir l'existence de solutions faibles appropriées. Nous présenterons donc les idées principales pour établir l'existence de telles solutions, et terminerons l'exposé en présentant quelques problèmes ouverts associés.
  
  Ce travail a été réalisé en collaboration avec D. Cobb (Université de Bonn).

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• Mercredi 22 novembre 2023 - 16h30 - Vincent Souveton

  Introduction au Geometric Deep Learning

  Le Geometric Deep Learning (GDL) propose l'utilisation d'a priori géométriques pour l'apprentissage de données en grande dimension. Il a pour but d'unifier les travaux existants en Machine Learning au sein d'un même cadre théorique, tout en proposant des arguments constructivistes pour des architectures efficaces dans des contextes variés. Dans cet exposé, nous explorerons les grands principes du GDL et leur utilisation dans le modèle bien connu de Convolutional neural network (CNN).

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Octobre 2023

• Mercredi 11 octobre 2023 - 16h30 - Julian Le Clainche

  Introduction aux algèbres de Hopf

  Les algèbres de Hopf sont des objets algébriques qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques (théorie des groupes, théorie de Lie, ...). Le but de cet exposé est de définir ces objets en donnant quelques exemples clés illustrant leur intérêt.

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