Séminaire GAAO

Décembre 2024

• Mardi 17 décembre 2024 - Clément Legrand (UCA)

  Espace de représentation du groupe d'un entrelacs dans SL2(C)

  Si M est une trois variété topologique on peut considérer l'ensemble des morphismes de son groupe fondamental dans SL2(C) que l'on appelle espace de représentations de M. Des travaux de Thurston, de Culler et Shalen montrent qu'il y a une interaction forte entre la topologie de la variété M et la géométrie de l'espace de représentations. Dans cette exposé on s’intéresse à l'espace de représentations du complémentaire d'un entrelacs L dans S^3. On étudiera dans un premier temps l'existence de représentation réductible non abélienne, puis on verra sous certaines hypothèses sur le polynôme d'Alexander multivarié de L que ces représentations sont des points lisses de l'espace de représentations.

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• Mardi 10 décembre 2024 - Laura Marino (Universität Hamburg)

  Homologies symétriques d'entrelacs: le cas gl(1)

  Introduites par Robert et Wagner, les homologies symétriques gl(n) sont des invariants de noeuds qui fournissent une catégorification d'une certaine famille de polynômes de Reshetikhin-Turaev. Ces homologies, en général difficiles à calculer, admettent une définition nettement plus simple quand n=1, et dans ce cas on peut décrire une base pour les espaces qui constituent leur complexe de chaines. Entre autre, cela permet de construire un algorithme qui calcule cette homologie. Je présenterai la construction de l'homologie symétrique gl(1) et énoncerai quelques résultats obtenus en la calculant sur les noeuds avec au plus dix croisements.

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Novembre 2024

• Mardi 26 novembre 2024 - Marie Trin (MPI MiS)

  Reconnaître la stabilité dans les groupes

  Dans un groupe hyperbolique les sous-groupes quasi-convexes sont exactement les sous-groupes finiment engendrés qui sont quasi-isometriquement plongés dans le groupe ambiant. On dispose de différentes notions de quasi-convexité pour les groupes non-hyperboliques parmi lesquelles la notion de sous-groupes stables.
  Pour des exemples tels que les mapping class groups et les RAAG on dispose de caractérisations des sous-groupes stables similaire à celle des sous-groupes quasi-convexes des groupes hyperboliques. En s'appuyant sur ces exemples on introduira la notion d'espace de reconnaissance pour les sous-groupes stables et on exposera des exemples et contre-exemples, on s'intéressera en particulier au cas des groupes relativement hyperboliques.

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• Mardi 12 novembre 2024 - Amandine Escalier (Université Claude Bernard, Lyon 1)

  Équivalence orbitale et mesurée des produits graphés

  On dit que deux groupes sont orbitalement équivalents s’ils agissent tous deux sur un même espace de probabilité avec les mêmes orbites. Dans cet exposé, on étudiera le comportement en équivalence orbitale (et mesurée) de groupes appelés « produits graphés ». Les liens avec la théorie géométrique des groupes – en particulier avec les groupes d’Artin à angles droits – et les algèbres d’opérateurs seront aussi évoqués. Ceci est un travail en commun avec Camille Horbez.

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• Mardi 05 novembre 2024 - Anne-Marie Aubert (CNRS et Sorbonne Université)

  Blocs de Bernstein des paramètres de Langlands enrichis des groupes p-adiques

  La catégorie des représentations (lisses) d’un groupe p-adique G admet une décomposition en produit direct de sous-catégories pleines, appelées « blocs de Bernstein », indexée par des orbites de représentations « supercuspidales » de sous-groupes de Levi de G.
  
  Nous introduirons la notion de paramètre de Langlands enrichi de G, et décrirons comment la correspondance de Springer généralisée, étendue au cas de groupes non connexes, permet d’obtenir une répartition en blocs des paramètres de Langlands enrichis parallèle à celle des représentations évoquée ci-dessus.
  
  A chaque bloc B (resp. B’) de représentations irréductibles (resp. paramètres de Langlands enrichis) est associée naturellement une algèbre de Hecke affine étendue H (resp. H’), éventuellement tordue par un 2-cocycle.
  
  Nous formulerons des conditions suffisantes pour pouvoir construire une correspondance de Langlands locale pour G au moyen d’une famille de correspondances entre les modules des algèbres H et H’ associées aux différents blocs.
  
  Nous illustrerons ces constructions sur divers exemples.

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Octobre 2024

• Mardi 22 octobre 2024 - Thi-Hoa Nguyen (UCA)

  Dimension cohomologique des algèbres de Hopf tressées

  La dimension globale est un invariant homologique important d'une algèbre. Elle sert souvent de bon analogue à la dimension d'une variété algébrique affine lisse. Cependant, il existe des exemples où la dimension globale ne correspond pas à l'intuition géométrique. Cela nous amène souvent à considérer la dimension cohomologique de Hochschild plutôt que la dimension globale. Il est donc naturel de déterminer les classes d'algèbres pour lesquelles la dimension globale et la dimension cohomologique de Hochschild coïncident. C'est un résultat bien connu lorsque notre algèbre est graduée connexe ou est une algèbre de Hopf.
  Dans cet exposé, je discuterai de certaines propriétés des algèbres de Hopf tressées et j'expliquerai un résultat qui montre que l'égalité entre les dimensions globale et de Hochschild est toujours valable pour une algèbre de Hopf tressé dans la catégorie des comodules sur une algèbre de Hopf coquasitriangulaire, cosemisimple.

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• Mardi 08 octobre 2024 - Thomas Gobet (UCA)

  Ordres de Bruhat et constructions d'actions d'algèbres de Hecke à partir de "sous-groupes de Coxeter"

  L'algèbre de Iwahori-Hecke d'un groupe de Coxeter est une déformation de son algèbre de groupe. Elle permet entre autres d'introduire les polynômes de Kazhdan-Lusztig, qui possèdent diverses interprétations en théorie de Lie. Deodhar a introduit des versions paraboliques de ces polynômes. Dans ce cas, on considère un sous-groupe parabolique standard W' de W (qui est encore un groupe de Coxeter), et on construit une action de l'algèbre de Hecke de W sur un module ayant une base indexée par W/W'.
  
  Il n'existe pas à proprement parler de théorie satisfaisante des "sous-groupes de Coxeter" d'un groupe de Coxeter. Etant donné un sous-groupe W' d'un groupe de Coxeter possédant lui-même une structure de groupe de Coxeter, l'on peut se demander sous quelles hypothèses on peut construire un module de base W/W' généralisant celui de Deodhar, et des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés.
  
  On s'intéresse au problème ci-dessus dans le cas où W' est donné par les points fixes d'un automorphisme d'ordre 2 d'un sous-groupe parabolique standard de W. Un tel groupe possède également une structure de groupe de Coxeter. Dans le cas où le système simple de W' ne possède pas de réflexion (de W) qui ne soit pas simple, on verra qu'on peut généraliser le module de Deodhar (travail en commun avec Pierre-Emmanuel Chaput et Lucas Fresse). Ceci repose de façon essentielle sur l'étude des éléments de longueur minimale dans les classes à gauche modulo W'. Contrairement au cas d'un sous-groupe parabolique standard, une classe possède en général plusieurs éléments de longueur minimale et il s'agit de comprendre leur comportement (travail en commun avec Nathan Chapelier). Pour faire ces constructions, l'on est amenés à définir de façon naturelle une généralisation d'ordre de Bruhat sur W/W'. Comme dans le cas d'un groupe de Weyl fini, cet ordre est obtenu dans certains cas comme un ordre d'inclusion d'adhérences d'orbites de certains sous-groupes du groupe linéaire général agissant sur la variété de drapeaux.

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• Mardi 01 octobre 2024 - Quan Situ (UCA)

  Category O for quantum groups at roots of unity

  The BGG category O defined by Bernstein-Gelfand-Gelfand plays an important role in the representation theory of complex semisimple Lie algebras. In this talk, I will introduce an analogue of BGG category O for quantum groups at roots of unity. The quantum algebra involved is called the hybrid quantum group, whose positive part is given by the one of Lusztig’s quantum group and whose negative part is given by the one of De Concini-Kac quantum group. There is a block decomposition of this category O. For the Steinberg block, I will introduce an equivalence to the category of B-equivariant modules over the coordinate ring of n (here B is the Borel subgroup, and n is the nilpotent radical of Lie algebra of B). For the principal block, I will discuss an equivalence to the category of equivariant modules over an algebra so called the non-commutative Springer (Grothendieck) resolution. As an application, we obtain the graded multiplicities of simple modules in Verma modules in the principal block.

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Septembre 2024

• Mardi 24 septembre 2024 - Ali Baklouti (Université de Sfax)

  Sur la conjecture de la fermeture de Zariski des orbites coadjointes des groupes de Lie exponentiels

  Je vais énoncer la conjecture de la fermeture de Zariski des orbites coadjointes de Groupes de Lie exponentiels, traiter certains cas résolus et discuter les difficultés qui s'élèvent encore vers sa résolution. Dans le but de surmonter les difficultés mentionnées, je proposerai alors de nouvelles idées concernant la relation entre les idéaux primitifs et les orbites coadjointes.
  

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• Mardi 10 septembre 2024 - Equipe GAAO

  Réunion d'organisation