Séminaire GAAO

Mai 2025

• Mardi 20 mai 2025 - Christian Blanchet (IMJ-PRG)

  Systèmes locaux sur les espaces de configuration de surfaces

  

Avril 2025

• Mardi 15 avril 2025 - Martin Palmer (Université de Leeds)

  Nullité et indénombrabilité dans l'homologie des groupes de difféotopie des surfaces de type infini

  Les groupes de difféotopie des surfaces de type infini (aussi appelés « grands groupes de difféotopie ») sont récemment devenus les objets d'études intensives. Ils se présentent sous une variété sauvage de formes et leur homologie est actuellement mal connue. Je décrirai un récent travail en commun avec Xiaolei Wu, dans lequel nous démontrons deux résultats de nullité et un résultat d'indénombrabilité pour l'homologie des grands groupes de difféotopie pour certaines familles de surfaces.
  
  En me concentrant sur des exemples clés, j'expliquerai pourquoi le groupe de difféotopie du disque fermé moins un ensemble de Cantor D^2\C est acyclique et pourquoi l'homologie du groupe de difféotopie de la « surface du monstre du Loch Ness » L est générée de manière indénombrable en chaque degré. Je montrerai également que, pour toute surface de genre infini S (par exemple S=L), toute classe d'homologie sur son groupe de difféotopie ayant un support sur une sous-surface compacte s'annule. Cela signifie que toutes les classes de Miller--Morita--Mumford s'annulent sur le groupe de difféotopie de S. La stabilité homologique apparaît, de deux manières différentes, comme une technique cruciale dans les démonstrations de ces résultats.

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• Mardi 08 avril 2025 - Thierry Lambre

  Méthodes de géométrie différentielle appliquées au groupe des classes d'un anneau de Dedekind

  Cet exposé propose d'utiliser des méthodes de géométrie différentielle pour l'étude du groupe des classes des anneaux de Dedekind, méthodes qui contribuent à un nouveau point de vue sur trois opérations classiques en théorie algébrique des nombres : réduction modulo \(n\), extension des scalaires et restriction des scalaires d'une extension.
  
  Nous introduisons une structure de groupe sur l'ensemble \({\rm Cxn}(\Lambda)\) des connexions d'un anneau de Dedekind \(\Lambda\), groupe qui s'insère dans une suite exacte courte d'extrémité le groupe des classes \({\cal C}\ell(\Lambda)\) du Dedekind \(\Lambda\).
  
  Cette suite exacte permet de construire des classes caractéristiques pour les trois situations citées ci-dessus : étude de la \(n\)-torsion du groupe des classes, du groupe de capitulation et du noyau de la norme des classes d'idéaux d'une extension.
  
  Ces classes caractéristiques sont à valeurs dans des quotients du module des différentielles de Kähler. Une étude attentive de ce module de différentielles conduit à la notion de Kähler-régularité d'un idéal d'un Dedekind. Cette Kähler-régularité nous permet obtenir une expression de ces classes caractéristiques en terme de dérivées logarithmiques.
  
  
  
  Travail en collaboration avec A. J. Berrick (National University of Singapore, University of Sydney et Western Sydney University)

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• Mardi 01 avril 2025 - Sylvain Brochard (Université de Montpellier)

  Un critère de liberté pour des complexes munis d'une action dérivée

  Soit (A,m,k) un anneau local noethérien et soit P un complexe de longueur d (finie) de A-modules libres de rangs finis. On note edim(A)=dim_k(m/m^2) la dimension de plongement de A, et D(A) la catégorie dérivée des complexes de A-modules. On suppose que le morphisme naturel A-->End_{D(A)}(P) se factorise par un anneau local noethérien B dont la dimension de plongement est inférieure ou égale à edim(A)-d. Une conjecture de C. Khare prédit alors que le dernier groupe d'homologie de P est un B-module libre. Je présenterai et motiverai cette conjecture, et ses liens avec les méthodes dites de "patching" couramment utilisées par les théoriciens des nombres dans les problèmes de relèvement modulaire. Puis je donnerai quelques résultats partiels obtenus en collaboration avec S. Iyengar et C. Khare. Si le temps le permet, je présenterai rapidement une autre conjecture de Khare dans l'esprit du critère numérique de Taylor et Wiles revisité par Diamond.

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Mars 2025

• Mardi 18 mars 2025 - Cristina Anghel-Palmer (LMBP)

  Un modèle topologique pour le polynôme HOMFLY-PT

  Le polynôme HOMFLY-PT est une généralisation à 2 variables des polynômes d’Alexander et de Jones. La compréhension des informations géométriques et topologiques encodées dans le polynôme HOMFLY-PT (et le polynôme de Jones) est un problème important en topologie quantique. Nous présentons un modèle topologique pour cet invariant, construit directement à partir d’un diagramme d’entrelacs.
  
  Nous prouvons que le polynôme HOMFLY-PT est donné par des intersections graduées entre des lagrangiennes dans un espace de configurations fixe sur une surface de Heegaard pour un entrelacs. Les lagrangiennes sont données par des collections d’arcs et d’ovales sur la surface de Heegaard. Contrairement aux modèles topologiques connus pour les invariants quantiques, ce modèle n’utillise pas des choix de représentants de tresses et d’actions de tresses sur le disque perforé. En conséquence, nous obtenons le premier modèle topologique pour le polynôme de Jones à partir d’intersections graduées sur des surfaces de Heegaard. Il donne une nouvelle perspective pour découvrir des données géométriques encodées par cet invariant quantique. Il s’agit d’un travail en commun avec C. Lee.

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• Mardi 11 mars 2025 - Alexis Bouthier (Sorbonne Université)

  Géométrie de la grassmannienne affine double

  Au début des années 2000, des travaux pionniers de Braverman et Finkelberg ont entrepris l'étude de la grassmannienne affine d'un groupe de Kac-Moody ou grassmannienne affine double, avec pour objectif d'établir une correspondance de Satake géométrique pour celle-ci. Pour contourner la nature hautement infinie d'un tel objet, ils ont introduit des tranches de dimension finie censées calculer la cohomologie d'un hypothétique complexe d'intersection. Malgré quelques progrès partiels en type A, une telle approche reste largement conjecturale. Le but de cet exposé, dans un travail en commun avec E. Vasserot, est d'étudier directement la géométrie de cette grassmannienne double, aussi infinie soit-elle et de généraliser les outils usuels pour la grassmannienne affine classique au cas double.

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Février 2025

• Mardi 18 février 2025 - Jean-Pierre Magnot (Angers)

  Sur un nouvel invariant géométrique des EDP

  Après avoir rappelé comment les constructions géométriques sur les espaces de jets ont permis de traduire ou de caractériser certaines symétries d'une équation aux dérivées partielles, écrite sous la forme $\Delta = 0$ (où $\Delta$ est une fonction $C^\infty$ , cylindrique sur l'espace de jets, à valeurs réelles), je développerai la construction d'un nouvel invariant géométrique d'après des travaux récents en collaboration avec .G. Reyes et V. Rubtsov.
  Plus précisément, dans une première partie, je décrirai les bicomplexes intéressants sur les espaces de jets en interprétant l'ancien concept de "lieu" (locus) en termes de difféologies. Après avoir donné rapidement quelques exemples classiques d'application de ces bicomplexes à une EDP donnée, je rappellerai la construction d'une algèbre $A_\infty$ à partir d'une algèbre différentielle, afin de montrer l'application de cette construction à la définition d'un nouvel invariant géométrique des EDP. L'exposé se terminera par quelques exemples,

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• Mardi 11 février 2025 - équipe GAAO

  13h30 : Réunion équipe

  

• Mardi 11 février 2025 - Meng Gao (Université de Lanzhou)

  Finite basis problem for involution semigroups of order four

  It is known that every involution semigroup of order three or less is finitely based. In the present article, it is shown that every involution semigroup of order four is finitely based. It follows that the recently discovered non-finitely based involution semigroup of order five is a minimal example.
  
  Attention, horaire inhabituel : l'exposé aura lieu à 14h30, après la réunion d'équipe.

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• Mardi 04 février 2025 - Clément Cren (Göttingen)

  Algèbres de Toeplitz et groupes de Heisenberg

  Les représentations des groupes de Heisenberg sont intimement liées aux opérateurs de création et annihilation. Les algèbres de Toeplitz de leur coté sont engendrées par des opérateurs de shift. Ces derniers s'obtiennent naturellement à partir des opérateurs de création et vice-versa. Je montre que cette observation peut-être promue en un isomorphisme entre une algèbre construite à partir de celle de Toeplitz et le noyau de la représentation triviale dans la C^*-algèbre du groupe de Heisenberg.
  
  J'évoquerai aussi le cadre plus général dans lequel cet isomorphisme s'inscrit, avec les symboles d'un calcul pseudodifférentiel exotique sur les groupes de Lie nilpotents gradués.

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Janvier 2025

• Mardi 28 janvier 2025 - Dominique Manchon (LMBP)

  Post-groupes et algèbres post-Lie : une introduction

  Les algèbres post-Lie sont apparues en 2007 dans un article de B. Vallette sur l'homologie des posets de partitions, et indépendemment, sous une forme légèrement différente, dans un travail de H. Munthe-Kaas et W. Wright sur la résolution numérique d'équations différentielles sur un espace homogène. La notion récente de post-groupe (2023) est équivalente à deux notions plus anciennement établies : les groupes à deux étages ou skew-braces (2017) et les groupes tressés (2000). Elle est étroitement lie aux algèbres post-Lie, en ce sens que l'algèbre de Lie d'un post-groupe de Lie est une algèbre post-Lie.
  
  Je ferai un survol de ces notions, avant d'aborder quelques résultats récemment obtenus avec M. J. H. Al-Kaabi, K. Ebrahimi-Fard, H. Munthe-Kaas et Lorenzo Zambotti.

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Décembre 2024

• Mardi 17 décembre 2024 - Clément Legrand (UCA)

  Espace de représentation du groupe d'un entrelacs dans SL2(C)

  Si M est une trois variété topologique on peut considérer l'ensemble des morphismes de son groupe fondamental dans SL2(C) que l'on appelle espace de représentations de M. Des travaux de Thurston, de Culler et Shalen montrent qu'il y a une interaction forte entre la topologie de la variété M et la géométrie de l'espace de représentations. Dans cette exposé on s’intéresse à l'espace de représentations du complémentaire d'un entrelacs L dans S^3. On étudiera dans un premier temps l'existence de représentation réductible non abélienne, puis on verra sous certaines hypothèses sur le polynôme d'Alexander multivarié de L que ces représentations sont des points lisses de l'espace de représentations.

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• Mardi 10 décembre 2024 - Laura Marino (Universität Hamburg)

  Homologies symétriques d'entrelacs: le cas gl(1)

  Introduites par Robert et Wagner, les homologies symétriques gl(n) sont des invariants de noeuds qui fournissent une catégorification d'une certaine famille de polynômes de Reshetikhin-Turaev. Ces homologies, en général difficiles à calculer, admettent une définition nettement plus simple quand n=1, et dans ce cas on peut décrire une base pour les espaces qui constituent leur complexe de chaines. Entre autre, cela permet de construire un algorithme qui calcule cette homologie. Je présenterai la construction de l'homologie symétrique gl(1) et énoncerai quelques résultats obtenus en la calculant sur les noeuds avec au plus dix croisements.

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Novembre 2024

• Mardi 26 novembre 2024 - Marie Trin (MPI MiS)

  Reconnaître la stabilité dans les groupes

  Dans un groupe hyperbolique les sous-groupes quasi-convexes sont exactement les sous-groupes finiment engendrés qui sont quasi-isometriquement plongés dans le groupe ambiant. On dispose de différentes notions de quasi-convexité pour les groupes non-hyperboliques parmi lesquelles la notion de sous-groupes stables.
  Pour des exemples tels que les mapping class groups et les RAAG on dispose de caractérisations des sous-groupes stables similaire à celle des sous-groupes quasi-convexes des groupes hyperboliques. En s'appuyant sur ces exemples on introduira la notion d'espace de reconnaissance pour les sous-groupes stables et on exposera des exemples et contre-exemples, on s'intéressera en particulier au cas des groupes relativement hyperboliques.

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• Mardi 12 novembre 2024 - Amandine Escalier (Université Claude Bernard, Lyon 1)

  Équivalence orbitale et mesurée des produits graphés

  On dit que deux groupes sont orbitalement équivalents s’ils agissent tous deux sur un même espace de probabilité avec les mêmes orbites. Dans cet exposé, on étudiera le comportement en équivalence orbitale (et mesurée) de groupes appelés « produits graphés ». Les liens avec la théorie géométrique des groupes – en particulier avec les groupes d’Artin à angles droits – et les algèbres d’opérateurs seront aussi évoqués. Ceci est un travail en commun avec Camille Horbez.

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• Mardi 05 novembre 2024 - Anne-Marie Aubert (CNRS et Sorbonne Université)

  Blocs de Bernstein des paramètres de Langlands enrichis des groupes p-adiques

  La catégorie des représentations (lisses) d’un groupe p-adique G admet une décomposition en produit direct de sous-catégories pleines, appelées « blocs de Bernstein », indexée par des orbites de représentations « supercuspidales » de sous-groupes de Levi de G.
  
  Nous introduirons la notion de paramètre de Langlands enrichi de G, et décrirons comment la correspondance de Springer généralisée, étendue au cas de groupes non connexes, permet d’obtenir une répartition en blocs des paramètres de Langlands enrichis parallèle à celle des représentations évoquée ci-dessus.
  
  A chaque bloc B (resp. B’) de représentations irréductibles (resp. paramètres de Langlands enrichis) est associée naturellement une algèbre de Hecke affine étendue H (resp. H’), éventuellement tordue par un 2-cocycle.
  
  Nous formulerons des conditions suffisantes pour pouvoir construire une correspondance de Langlands locale pour G au moyen d’une famille de correspondances entre les modules des algèbres H et H’ associées aux différents blocs.
  
  Nous illustrerons ces constructions sur divers exemples.

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Octobre 2024

• Mardi 22 octobre 2024 - Thi-Hoa Nguyen (UCA)

  Dimension cohomologique des algèbres de Hopf tressées

  La dimension globale est un invariant homologique important d'une algèbre. Elle sert souvent de bon analogue à la dimension d'une variété algébrique affine lisse. Cependant, il existe des exemples où la dimension globale ne correspond pas à l'intuition géométrique. Cela nous amène souvent à considérer la dimension cohomologique de Hochschild plutôt que la dimension globale. Il est donc naturel de déterminer les classes d'algèbres pour lesquelles la dimension globale et la dimension cohomologique de Hochschild coïncident. C'est un résultat bien connu lorsque notre algèbre est graduée connexe ou est une algèbre de Hopf.
  Dans cet exposé, je discuterai de certaines propriétés des algèbres de Hopf tressées et j'expliquerai un résultat qui montre que l'égalité entre les dimensions globale et de Hochschild est toujours valable pour une algèbre de Hopf tressé dans la catégorie des comodules sur une algèbre de Hopf coquasitriangulaire, cosemisimple.

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• Mardi 08 octobre 2024 - Thomas Gobet (UCA)

  Ordres de Bruhat et constructions d'actions d'algèbres de Hecke à partir de "sous-groupes de Coxeter"

  L'algèbre de Iwahori-Hecke d'un groupe de Coxeter est une déformation de son algèbre de groupe. Elle permet entre autres d'introduire les polynômes de Kazhdan-Lusztig, qui possèdent diverses interprétations en théorie de Lie. Deodhar a introduit des versions paraboliques de ces polynômes. Dans ce cas, on considère un sous-groupe parabolique standard W' de W (qui est encore un groupe de Coxeter), et on construit une action de l'algèbre de Hecke de W sur un module ayant une base indexée par W/W'.
  
  Il n'existe pas à proprement parler de théorie satisfaisante des "sous-groupes de Coxeter" d'un groupe de Coxeter. Etant donné un sous-groupe W' d'un groupe de Coxeter possédant lui-même une structure de groupe de Coxeter, l'on peut se demander sous quelles hypothèses on peut construire un module de base W/W' généralisant celui de Deodhar, et des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés.
  
  On s'intéresse au problème ci-dessus dans le cas où W' est donné par les points fixes d'un automorphisme d'ordre 2 d'un sous-groupe parabolique standard de W. Un tel groupe possède également une structure de groupe de Coxeter. Dans le cas où le système simple de W' ne possède pas de réflexion (de W) qui ne soit pas simple, on verra qu'on peut généraliser le module de Deodhar (travail en commun avec Pierre-Emmanuel Chaput et Lucas Fresse). Ceci repose de façon essentielle sur l'étude des éléments de longueur minimale dans les classes à gauche modulo W'. Contrairement au cas d'un sous-groupe parabolique standard, une classe possède en général plusieurs éléments de longueur minimale et il s'agit de comprendre leur comportement (travail en commun avec Nathan Chapelier). Pour faire ces constructions, l'on est amenés à définir de façon naturelle une généralisation d'ordre de Bruhat sur W/W'. Comme dans le cas d'un groupe de Weyl fini, cet ordre est obtenu dans certains cas comme un ordre d'inclusion d'adhérences d'orbites de certains sous-groupes du groupe linéaire général agissant sur la variété de drapeaux.

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• Mardi 01 octobre 2024 - Quan Situ (UCA)

  Category O for quantum groups at roots of unity

  The BGG category O defined by Bernstein-Gelfand-Gelfand plays an important role in the representation theory of complex semisimple Lie algebras. In this talk, I will introduce an analogue of BGG category O for quantum groups at roots of unity. The quantum algebra involved is called the hybrid quantum group, whose positive part is given by the one of Lusztig’s quantum group and whose negative part is given by the one of De Concini-Kac quantum group. There is a block decomposition of this category O. For the Steinberg block, I will introduce an equivalence to the category of B-equivariant modules over the coordinate ring of n (here B is the Borel subgroup, and n is the nilpotent radical of Lie algebra of B). For the principal block, I will discuss an equivalence to the category of equivariant modules over an algebra so called the non-commutative Springer (Grothendieck) resolution. As an application, we obtain the graded multiplicities of simple modules in Verma modules in the principal block.

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Septembre 2024

• Mardi 24 septembre 2024 - Ali Baklouti (Université de Sfax)

  Sur la conjecture de la fermeture de Zariski des orbites coadjointes des groupes de Lie exponentiels

  Je vais énoncer la conjecture de la fermeture de Zariski des orbites coadjointes de Groupes de Lie exponentiels, traiter certains cas résolus et discuter les difficultés qui s'élèvent encore vers sa résolution. Dans le but de surmonter les difficultés mentionnées, je proposerai alors de nouvelles idées concernant la relation entre les idéaux primitifs et les orbites coadjointes.
  

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• Mardi 10 septembre 2024 - Equipe GAAO

  Réunion d'organisation