Alain Valette (Univ. Neuchâtel) — mardi 9 avril 2024 à 14h Amphi Hennequin
La métrique de Wasserstein sur les arbres réels
Pour un espace métrique (X,d), la métrique de Wasserstein, ou distance du terrassier, est une distance sur l'espace des mesures de probabilité sur X, qui provient de la théorie du transport optimal: si \mu,\nu sont deux mesures de proba sur X, la distance de Wasserstein de \mu à \nu représente intuitivement la quantité minimale de travail nécessaire pour transformer \mu en \nu. Comme la définition de la distance de Wasserstein implique un infimum, on ne s'attend pas en général à une formule close pour cette distance. Une telle formule existe néanmoins pour les arbres métriques (c-à-d les arbres combinatoires où la longueur d'une arête peut être n'importe quel nombre >0); cette formule a une histoire intéressante qui en fait un bon sujet de colloquium: apparue d'abord dans des articles d'informatique (Charikar 2002), elle a refait surface dans des articles de bio-mathématique (Evans-Matsen 2012), avant d'attirer l'attention des mathématiciens purs. Dans un travail en commun avec M. Mathey-Prévôt, nous proposons les arbres réels comme bon cadre pour cette formule (il s'agit des espaces métriques géodésiques avec la propriété que deux points sont joints par un unique arc), et nous donnons deux preuves de la formule: l'une algorithmique, l'autre basée sur la théorie des espaces de Banach Lipschitz-libres.
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