Séminaire EDPAN

Juin 2025

• Jeudi 12 juin 2025 - Samuel Tréton

  A piston to counteract diffusion: The influence of an inward-shifting boundary on the heat equation in half-space

  Climate change, among other environmental factors, has an increasing impact on the distribution of biological populations.
  
  To better understand how these populations respond to dynamic external pressures, we propose a new diffusion model in the moving half-line
  \[\Omega_{t}:=\{z>b(t)\},\]
  where the boundary position b(t) is a given, smooth and increasing function of time.
  
  By imposing a suitable (Robin-type) boundary condition at z=b(t), we prevent individuals from leaving the domain, so that the shifting boundary acts as an impermeable wall - a ``piston'' - that sweeps the individuals it encounters.
  
  This framework leads to an intricate interplay between the diffusion mechanism (which tends to spread the population) and the accumulation of individuals against the boundary.
  
  As it is natural to consider algebraic speeds for the boundary, we focus here on cases where
  \[b(t)\sim c t^{\beta}\]as t tends to infinity.
  
  Our main contribution is a complete characterization of the long-time distribution of the population for any β in [0,1].
  
  Notably, the asymptotic solution switches from a Gaussian shape to an exponential shape at β=1/2, and converge to a nontrivial steady state in the special case β=1.
  In this latter scenario, the dispersal effect of the Laplacian is perfectly balanced by the accumulation of individuals at the moving boundary.
  
  These new effects observed in the context of this original diffusion model open promising perspectives for incorporating density-dependent growth terms, which could account for more complex population dynamics, such as resource limitations, overcrowding dynamics, or on the contrary, Allee effect rescues. We intend to explore such directions in future work.

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Avril 2025

• Jeudi 03 avril 2025 - Thomas Alazard

  Problème d’interaction fluide-structure avec surface libre

  Nous considérons un problème d’interaction fluide-structure régi par l’équation d’Euler incompressible à surface libre, dans un domaine dont l’interface est gouvernée par la loi de l’élasticité linéaire. En l’absence de régularisation de type parabolique, l’observation clé est que le système peut être reformulé sous la forme d’une équation non linéaire de type Schrödinger, à laquelle on applique des estimations dispersives. Cela nous permet de construire des solutions qui, d’un point de vue de la dynamique des fluides sans viscosité, sont très irrégulières : la vitesse initiale du fluide ne possède qu’une demi-dérivée dans L2. Travail en collaboration avec Chengyang Shao (Univ. Chicago) et Haocheng Yang (ENS Paris-Saclay).

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Mars 2025

• Jeudi 27 mars 2025 - Marjolaine Puel

  Diffusion fractionnaire comme approximation de modèles cinétiques.

  Dans cet exposé, nous expliquerons tout d’abord comment approcher la solution d’une équation cinétique représentant au niveau mésoscopique le mouvement de particules qui se cognent par un profile donné en vitesse multiplié par une densité solution d’une équation de diffusion. Nous montrerons ensuite pourquoi, lorsque les équilibres sont à queue lourde, c’est à dire que les particules à très grande vitesse ont une densité non négligeable, la description macroscopique fait intervenir un phénomène de saut. Enfin, nous introduirons une méthode spectrale qui permet de capter les différents seuils dans les valeurs des paramètres déterminant l’équation limite adéquate.

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Février 2025

• Jeudi 13 février 2025 - Ionel Roventa

  On the approximation of boundary controls for 2D wave equation in a rectangle

  We extend previous results on the boundary controllability properties of the finite-difference space semi-discretizations of the 1-D wave equation to 2-D wave equation in a rectangle. It is already known that the constants on the boundary observability inequality blow-up as the mesh-size tends to zero. Using controls acting on two adjacent edges of the boundary of the rectangle we can prove thatfiltering high frequencies of the initial data we can prove the uniform controllability property. Our method, based on Fourier expansion and explicit construction and evaluation of biorthogonal sequences, allows us to measure the magnitude of the control needed for each eigenfrequency.
  Several numerical experiments for the approximation of the minimum L^2-norm controls (which are usually called HUM controls) are also presented and confirm our theoretically results. The algorithm to approximate controls is inspired by the one proposed by Glowinski, Li, and Lions in [Japan J. Appl. Math., 1990].

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• Jeudi 06 février 2025 - Journée d'équipe

  EDPAN

  
  9h30 : accueil (salle 118)
  10h - 10h30 : réunion d’équipe (salle 218)
  
  10h30 - 11h15 : Cécile Legrand
  ---> Simulation numérique des matériaux à changement de phase
  11h15 - 12h : Arnaud Munch
  ---> Explicit approximation of the solution to the viscous Burgers equation with shock layers
  
  Déjeuner au restaurant “Les hauts de l’Artière”
  
  14h - 14h45 : Véronique Bagland
  ---> Un résultat de régularité conditionnelle pour l’équation de Landau
  14h45 - 15h30 : Yue-Jun Peng
  ---> Solutions globales de grande amplitude et limite de relaxation des équations d’Euler isothermes

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Janvier 2025

• Jeudi 30 janvier 2025 - Olivier Hénot

  Computer-Assisted Proofs for Nonlinear Diffusion Problems

  In this talk, we explore computer-assisted proof (CAP) techniques to study partial differential equations involving nonlinear diffusion. We begin with an overview of CAP methodologies, particularly those based on spectral methods and the contraction mapping theorem. These techniques are then applied to rigorously compute steady-state solutions for systems of the form \[\partial_t u = \Delta \Phi(u) + R(u)\] on bounded domains with Neumann boundary conditions. In particular, we focus on domains of the form \[P_i[a_i, b_i]\] to use a Fourier series discretization of the solutions. The last part of the talk introduces a new computer-assisted approach to analyze the stability of steady-states. Our strategy consists in constructing an explicit local Lyapunov functional, based on the Lyapunov matrix equations used in control theory.
  

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• Jeudi 16 janvier 2025 - Youcef Mammeri

  Du phloème au paysage : quelques problèmes de modélisation continue des interactions plantes-ravageurs

  Je présenterai quelques résultats concernant la modélisation du développement des plantes dans leur environnement. Nous débuterons par un nouveau modèle décrivant la distribution du sucrose dans les arbres, pour ensuite aborder la propagation des ravageurs (végétaux ou animaux) au sein des paysages agricoles. Mon propos sera centré sur des systèmes continus de type advection-réaction-diffusion.

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Décembre 2024

• Jeudi 12 décembre 2024 - Hiroshi Matano (Meiji University)

  Front propagation through a perforated wall

  In recent years, the behavior of solution fronts of reaction-diffusion equations in the presence of obstacles has attracted attention among many researchers.
  
  In this talk, I will consider the case where the obstacle is a wall with many holes and discuss whether the front can pass through the wall and continue to propagate (“propagation”) or is blocked by the wall (“blocking”). The answer depends largely on the size and the geometric configuration of the holes.
  
  This problem has led to a variety of interesting mathematical questions that are far richer than we had originally anticipated. Many questions still remain open. This is joint work with Henri Berestycki and Francois Hamel.

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• Jeudi 05 décembre 2024 - Nathanaël Boutillon

  Un problème de valeur propre principale pour un opérateur elliptique fortement anisotrope.

  Dans cet exposé, je parlerai d'un problème de valeur propre principale pour un opérateur elliptique linéaire du second ordre, avec un coefficient de diffusion très petit dans une direction. Dans ce régime, comment se comportent la fonction propre principale et la valeur propre principale ? Pour gérer l'interaction entre la variable lente et la variable rapide, j'utiliserai une représentation de la fonction propre principale comme une distribution quasi-stationnaire d'un processus tué. Ensuite, dans certains cas particuliers, je donnerai la limite de la valeur propre principale quand le terme de diffusion tend vers zéro dans une direction.

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Novembre 2024

• Jeudi 21 novembre 2024 - Jérôme Coville

  Phénomène de propagation dans certains modèles intégrodifférentiels

  Je présenterai quelques avancées récentes sur la caractérisation des phénomènes de propagation qui apparaissent dans les équations semi-linéaires homogènes avec diffusion non locale de type Lévy. Récemment différentes dichotomies entre propagation accélérée et propagation à vitesse constante en fonction des paramètres de décroissance du noyau et de l'ordre d'annulation en zéro de la non-linéarité considérée ont été obtenues. Je me concentrerai principalement sur le cas monostable en montrant une manière de contourner les difficultés liées au traitement des opérateurs de Lévy généraux.

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• Jeudi 14 novembre 2024 - Lorenzo Brandolese

  Solutions autosimilaires pour le système de Boussinesq

  Le système de Boussinesq est un modèle simplifié de la mécanique des fluides, utilisé pour étudier les problèmes de convection. Dans le cas d'un potentiel gravitationnel Newtonien, ce système vérifie des propriétés d'invariance d'échelle semblables à celles des équations des Navier--Stokes. Nous montrons l'existence de solutions globales auto-similaires pour ce système, lorsque les conditions initiales sont des fonctions homogènes, de taille arbitraire.

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Octobre 2024

• Jeudi 17 octobre 2024 - Frédéric Charve

  Asymptotiques pour les solutions fortes du système de Boussinesq fortement stratifié avec données très mal préparées.

  Il est connu que lorsque le nombre de Froude ε tend vers zéro, les solutions du système de Boussinesq fortement stratifié tendent vers celles d’un système de type Navier-Stokes à deux composantes (mais dépendant des trois variables d’espace). De manière surprenante ce système limite ne dépend pas de la diffusivité thermique ν′ > 0. Dans un précédent travail nous avons obtenu, pour des données initiales non-conventionnelles, et dans le cadre des solutions faibles, un système limite général dépendant de tous les paramètres: il s'agit du système de Navier-Stokes 3D à deux composantes précédent couplé avec une équation de la chaleur en la variable verticale.
  Dans cet exposé, on s'intéresse à cette même limite dans le cadre des solutions fortes pour des données initiales non conventionnelles et très mal préparées. Nous parvenons à obtenir des solutions globales en temps lorsque le nombre de Froude est suffisamment petit ainsi que des estimations (explicites en le petit paramètre ε) des vitesses de convergence. Ces résultats peuvent être ré-écrits sous forme de développement asymptotique autour de solutions particulières explicites pour le système de Boussinesq classique.

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Septembre 2024

• Jeudi 26 septembre 2024 - Sophie Thery

  Well-posedness of a non-local ocean-atmosphere coupling model

  Ocean-atmosphere interactions play a critical role in climate modeling and weather forecasting. Ocean and atmosphere models have been constructed separately by two distinct communities and coupled via complex interface conditions. We propose a translation of this coupled system into a global mathematical model in order to use the tools of analysis and study its well-posedness. We present a simplified but realistic model containing the main ingredients of numerical models. This mathematical model is known as the coupled Ekman problem, considering vertical exchanges of the horizontal currents, the Coriolis effect, and the effect of small scales via turbulent viscosities. The particularity of this model is to consider the interface as a buffer zone between the two domains with interface conditions specific to the ocean-atmosphere coupling. These interface conditions lead to the dependence of viscosity profiles on the jumps of the current around the interface and make the global problem non-local. To study the well-posedness of this system, a first method is rewrite it as a fixed point problem in order to deal with the non-local aspects. A general study of the problem in its stationary and non-stationary state leads to a sufficient condition to guarantee the well-posedness that depend on the variation of the viscosity profile. This condition applied to the ocean-atmosphere framework, i.e. with physically-realistic viscosity profiles and orders of magnitude, is too restrictive and does not guarantee the uniqueness of solutions. In the stationary case, a necessary and sufficient condition can be given to ensure the existence and uniqueness of solutions. We will see that, once again, in the context of ocean-atmosphere coupling, this condition is not met and there is no uniqueness of solutions. In conclusion, we will discuss the prospects for such a model and the parameters that could be adjusted to obtain a mathematically well-posed model.

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