Séminaire Théorie des Nombres

Juin 2023

• Mardi 13 juin 2023 - Gabriel Dill (Leibniz Universität, Hannovre)

  À venir

  À venir

  Afficher le contenu...

  

Mars 2023

• Mardi 28 mars 2023 - Pietro Mercuri (Roma)

  Automorphism group of Cartan modular curves

  We consider the modular curves associated to a Cartan subgroup of \(\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) or to a particular class of subgroups of \(\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) containing the Cartan subgroup as a normal subgroup. We describe the automorphism group of these curves when the level is large enough. If time permits, we give a sketch of the proof.
  

  Afficher le contenu...

  

• Mardi 14 mars 2023 - Ratko Darda (Universität Basel)

  Une nouvelle classe de hauteurs sur les champs de Deligne-Mumford et conjecture de Manin

  La conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano. Plus précisément, pour une variété de Fano lisse, nous attendons que, en dehors d'un ensemble mince, le nombre de points rationnels de hauteur moins que \(B\) soit asymptotique à \(C B^{a}\log(B)^b\) pour certains \(C, a, b>0\). Cette prédiction est très similaire à la prédiction de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes ayant le groupe de Galois fixe et le discriminant borné.
  
  Les deux conjectures sont concernées par des points rationnels sur les champs de Deligne-Mumford. Nous présentons une nouvelle classe de hauteurs sur ces champs. Nous les utilisons pour donner une version de la conjecture de Manin pour les champs (de Deligne-Mumford), plus forte que celle d'Ellenberg, Satriano et Zureick-Brown, ayant les conjectures de Manin et de Malle comme conséquences. C'est un travail en commun avec T. Yasuda.
  
  Remarque : la séance aura lieu à 10h en salle 218.

  Afficher le contenu...

  

Février 2023

• Mardi 28 février 2023 - David Lilienfeldt (Hebrew University, Jerusalem)

  Cycles de Ceresa et quotients de courbes de Fermat

  Soit \(C\) une courbe de genre \(g > 2\) plongée dans sa jacobienne \(J\). Le cycle de Ceresa \(C-[-1]*C\) est un cycle algébrique cohomologiquement trivial de dimension 1 dans \(J\). Pour \(C\) hyperelliptique, ce cycle est trivial modulo l'équivalence algébrique, alors que pour \(C\) générale il est non-trivial d'après Ceresa.
  Récemment, le premier exemple d'une courbe non-hyperelliptique pour laquelle le cycle de Ceresa est de torsion modulo l'équivalence algébrique a été obtenu par Beauville et Schoen. Inspirés de leur travail, nous obtenons deux nouveaux exemples de courbes non-hyperelliptiques pour lesquelles l'image du cycle de Ceresa par l'application d'Abel-Jacobi complexe est de torsion. Nos exemples, ainsi que celui de Beauville et Schoen, sont des quotients cycliques de courbes de Fermat. Dans chacun des trois cas, nous calculons l'ordre d'annulation centrale de la fonction \(L\) du motif concerné. Pour notre exemple de genre 3, la valeur centrale est non-nulle et le cycle est de torsion modulo équivalence algébrique, en accord avec la conjecture de Beilinson-Bloch.
  Ceci est un travail en commun avec Ari Shnidman.
  

  Afficher le contenu...

  

• Mardi 21 février 2023 - Jean Kieffer (Harvard University)

  Calcul de classes d'isogénie de surfaces abéliennes sur \(\mathbb Q\)

  Etant donnée une surface abélienne principalement polarisée (PPAS) sur \(\mathbb Q\) à endomorphismes génériques, je décrirai un algorithme permettant de calculer toutes les autres PPAS dans sa classe d'isogénie. Cet algorithme est utilisable en pratique, et a permis de constituer une base de données de plus de 1,5 million de telles classes d'isogénie.
  Il s'agit d'un travail en commun avec Raymond van Bommel, Shiva Chidambaram et Edgar Costa (MIT).
  

  Afficher le contenu...

  

• Mardi 07 février 2023 - Riccardo Pengo (Max Planck Institute, Bonn)

  Propriétés de Northcott pour les valeurs spéciales des fonctions L.

  Le théorème de Northcott nous dit que chaque ensemble de nombres algébriques dont le degré et la hauteur sont bornés est fini. Cette propriété de "finitude à hauteur bornée" est aussi satisfaite par beaucoup des autres hauteurs, comme par exemple la hauteur de Faltings. En vue de nombreux liens (démontrés ou conjecturés) entre hauteurs et valeurs spéciales de fonctions L (dont la conjecture BSD est un exemple remarquable), il est naturel de se demander si les valeurs spéciales d'une fonction L satisfont une propriété de Northcott. Cet exposé, basé sur un travail en commun avec Fabien Pazuki (arXiv:2012.00542) et un autre travail en cours avec Jerson Caro et Fabien Pazuki, nous montrerons comment cette propriété de Northcott est souvent satisfaite à la gauche de la bande critique, et pas satisfaite à la droite. En outre, nous traiterons aussi des aspects effectifs de notre travail, qui visent à donner des bornes explicites pour les cardinalités des ensembles finis que nous trouvons.
  
  
  Remarque : la séance aura lieu à 10h en salle 218.

  Afficher le contenu...

  

Janvier 2023

• Mardi 31 janvier 2023 - Sarah Dijols (University of Calgary

  Induites paraboliques du groupe \(p\)-adique \(G_2\) distinguées par \(SO_4\)

  Après une brève introduction pour motiver l'étude des représentations distinguées, j'expliquerai comment la théorie de Mackey pour les groupes \(p\)-adiques nous permet d'identifier ce type de représentations et les spécificités du cas de l'étude du groupe exceptionnel \(G_2\). Je présenterai une première description de certaines des représentations distinguées pour la paire \((G_2, SO_4)\), et une nouvelle approche en cours, en collaboration avec Nadir Matringe, pour obtenir une classification plus complète de ces représentations.
  
  
  
  Remarque : l'exposé aura lieu en visioconférence en salle 114 et en simultané sur Zoom ou Teams (lien sur demande à l'organisateur). Compte tenu du décalage horaire, la séance aura exceptionnellement lieu à 16h30.

  Afficher le contenu...

  

Décembre 2022

• Mardi 13 décembre 2022 - Quentin Gazda (École Polytechnique)

  Analogies entre nombres et fonctions : le cas des valeurs zeta

  C’est dans une lettre à Simone Weil que son frère - André - mentionne sa pierre de Rosette : trois languages mathématiques différents, les nombres, les corps de fonctions sur un corps fini, et les surfaces de Riemann, et pourtant tant similaires. Ces analogies forment une source d'inspiration inépuisable, jusqu'au théories les plus sophistiquées, mais restent encore incomprises. Dans cet exposé, je parlerais des deux premières catégories et de certaines valeurs zeta qui motivent mes recherches.
  

  Afficher le contenu...

  

• Mardi 06 décembre 2022 - Gautier Ponsinet (Université de Bordeaux)

  Groupes de Bloch-Kato, corps perfectoïdes et théorie d'Iwasawa

  Les groupes de Selmer de Bloch-Kato associés à une représentation géométrique du groupe de Galois d'un corps de nombres interviennent dans les conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales de fonctions \(L\) des motifs. En théorie d'Iwasawa, on s'intéresse à la structure de ces groupes sur des extensions de corps infinies. Pour ce faire, il est nécessaire d'étudier certains groupes de Bloch-Kato locaux définis via la théorie de Hodge p-adique.
  Dans cet exposé, je présenterai de nouveaux résultats concernant ces groupes de Bloch-Kato locaux sur les corps perfectoïdes, répondants à une question posée par Coates et Greenberg dans de nouveaux cas. Ces résultats locaux permettent de donner une description plus maniable des groupes de Selmer de Bloch-Kato comme groupes de Selmer « à la Greenberg » sur de nombreuses extensions de corps infinies, et je présenterai quelques conséquences immédiates de cette description en théorie d'Iwasawa.
  

  Afficher le contenu...

  

Novembre 2022

• Mardi 29 novembre 2022 - Léo Poyeton (Université de Bordeaux)

  Admissibilité de \((\varphi,N)\)-modules filtrés

  Les \((\varphi,N)\)-modules filtrés sont des objets d'algèbre semi-linéaire simples à définir, qu'on est notamment capable d'implémenter sur ordinateur. La théorie de Hodge \(p\)-adique permet d'associer à toute représentation \(p\)-adique \(V\) du groupe de Galois absolu d'une extension finie de \(\mathbb{Q}_p\) un \((phi,N)\)-module filtré \(D(V)\). Lorsque \(V\) est suffisamment gentille (on dit alors que \(V\) est semi-stable), la donnée de \(D(V)\) est suffisante pour reconstruire la représentation \(V\). Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un \((\varphi,N)\)-module filtré puisse s'écrire comme le \(D(V)\) d'une représentation \(p\)-adique est la condition dite d'admissibilité, critère qui impose certaines conditions sur la façon dont les différentes structures du \((\varphi,N)\)-module filtré interagissent. Dans un travail en cours avec Xavier Caruso, nous cherchons à construire un algorithme permettant de vérifier l'admissibilité d'un \((\varphi,N)\)-module filtré, qui a vocation à être implémenté sur ordinateur. J'expliquerai notamment comment on peut représenter des \((\varphi,N)\)-modules filtrés en machine, pourquoi la question posée a bien un sens et présenterai un algorithme permettant de répondre à cette question lorsque le \((\varphi,N)\)-module filtré n'est pas trop compliqué.
  

  Afficher le contenu...

  

• Mardi 15 novembre 2022 - Sary Drappeau (U. d'Aix-Marseille)

  «Modularité quantique» pour les tordues additives de fonctions \(L\) des formes de Maass

  Si \(a(n)\) désigne les coefficients de Fourier d'une forme de Maass pour un groupe Fuchsien \(\Gamma\), et \(x\) est un nombre rationnel, on étudie la fonction \(L\) tordue additive
  \[ L(x) = \sum_{n\geq 1} a(n) e^{2\pi i n x} / n^{1/2} \]
  par prolongement analytique depuis la même série où \(n^{1/2}\) est remplacé par \(n^s\).
  Dans l'exposé on parlera de quelques ingrédients d'un travail en commun avec Asbjørn Nordentoft, où on étudie les relations qui existent entre \(L(\gamma x)\) et \(L(x)\) pour \(\gamma\in\Gamma\), ce qui généralise des travaux précédents de Petridis-Risager, Nordentoft, Lee-Sun et Bettin-Drappeau. Cela permet d'obtenir la convergence vers une loi gaussienne des valeurs de \(L(x)\) lorsque \(x\) est pris aléatoirement parmi les rationnels de dénominateurs au plus \(Q\) (\(Q\to\infty\)) lorsque \(\Gamma = \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})\); ou aussi l'existence de formules de réciprocité pour les moments de fonctions \(L\) de tordues multiplicatives de \(\phi\).
  

  Afficher le contenu...

  

Octobre 2022

• Mardi 11 octobre 2022 - Aurélien Galateau (U. de Cergy)

  Problème de Manin-Mumford et homothéties des représentations \(\ell\)-adiques.

  Dans un travail commun avec César Martinez, on a donné des bornes uniformes pour le lieu de torsion des sous-variétés des variétés abéliennes. Ces bornes sont optimales en la géométrie des sous-variétés et elles font intervenir un exposant lié à un théorème de Serre sur les homothéties des représentations \(\ell\)-adiques associées aux points de torsion des variétés abéliennes. On fera le point sur ce qui est connu concernant cet exposant.
  

  Afficher le contenu...