Séminaire Théorie des Nombres

Mai 2025

• Mardi 27 mai 2025 - Douglas Ulmer (University of Arizona)

  Bounding tangencies between sections of elliptic surfaces

  (joint with G. Urzua and F. Voloch)
  
  We take a section P of infinite order on an elliptic surface and consider points where some multiple nP is tangent to the zero section. (These are "unlikely intersections" and our consideration of them is motivated by a question in geography of surfaces. It is also analogous to the question of whether elements of an elliptic divisibility sequence are square-free.)
  In characteristic zero, we show finiteness and give a sharp upper bound, relying heavily on a canonical parallel transport in a family of elliptic curves (the "Betti foliation") and a certain real-analytic one-form. Although the finiteness statement looks completely reasonable in characteristic p, it's not clear what would replace the (non-algebraic) 1-form.
  Time permitting, I will explain how ongoing work with Felipe Voloch connects tangencies to the p-descent map and allows us to bound them in characteristic p as well.

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• Mardi 20 mai 2025 - Antoine Sedillot (Regensburg)

  Différentes approches à la géométrie d'Arakelov

  Dans cet exposé, j'introduirai la philosophie de la géométrie d'Arakelov et présenterai différentes approches permettant de transposer des observations de nature géométriques en des résultats de natures arithmétiques sur des corps de nature variée (e.g. corps globaux, extensions de type finie d'un corps de base, corps de fonctions méromorphes complexes). Je tâcherai d'aborder le formalisme récent des courbes adéliques (et variantes) introduit par Chen et Moriwaki.
  
  Si le temps le permet, je parlerai d'un programme en cours visant à interpréter la géométrie d'Arakelov via une théorie anaytique sur des espaces de type "Zariski-Riemann à la Berkovich".

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Avril 2025

• Mardi 08 avril 2025 - François Brunault (ÉNS de Lyon)

  Fonctions L et régulateurs modulaires

  Je commencerai par présenter les conjectures sur les valeurs aux entiers de la fonction zêta de Riemann. Plus généralement, les conjectures de Beilinson expriment les valeurs spéciales des fonctions L en termes d'intégrales appelées régulateurs. J'expliquerai une nouvelle construction d'éléments dans le groupe de K-théorie K_4 des courbes modulaires, et leurs applications aux fonctions L de formes modulaires. Il s'agit en partie d'un travail en commun avec Wadim Zudilin.

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• Mardi 01 avril 2025 - Cécile Armana (Université de Franche-Comté)

  Premier coefficient des formes modulaires sur les corps de fonctions et opérateurs de Hecke

  Suite aux travaux fondateurs de Drinfeld, deux notions de formes modulaires sur les corps de fonctions ont été introduites à la fin des années 1970 : les cochaînes harmoniques et les formes modulaires de Drinfeld. Pour les formes modulaires classiques, les opérateurs de Hecke permettent de comprendre les coefficients des formes propres. C'est vrai pour les cochaînes harmoniques mais la situation est assez différente pour les formes modulaires de Drinfeld. Dans cet exposé je présenterai des résultats relatifs à l'accouplement entre l'algèbre de Hecke et ces espaces de formes modulaires, donné par le premier coefficient du développement.

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Mars 2025

• Mardi 25 mars 2025 - João Lourenço (Münster)

  Comparaison des catégories de faisceaux sur Isoc_G et Bun_G

  Pour un groupe réductif connexe G sur \mathbb{Q}_p, on s'intéresse à la catégorie des représentations lisses de G(\mathbb{Q}_p). Selon le programme de Langlands, on s'attend à l'existence d'une certaine application des représentations lisses irréductibles de G(\mathbb{Q}_p) vers les L-paramètres du groupe dual à conjugaison près. En 2021, Fargues--Scholze ont proposé une façon de géométriser ces catégories de représentations lisses en tant que faisceaux \ell-adiques du champ classifiant Bun_G sur F_p-algèbres perfectoïdes de G-torseurs sur la courbe de Fargues--Fontaine. Presque simultanément, Hemo--Zhu avaient proposé de prendre le champ classifiant Isoc_G sur F_p-algèbres parfaites des G-isocristaux. Je vais expliquer ces deux constructions et esquisser la construction d'une équivalence Shv(Isoc_G)\simeq D(Bun_G) à coefficients dans \bar{\mathbb{F}}_\ell. Il s'agit d'un travail en commun avec Gleason, Ivanov, Hamann et Zou.
  

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• Lundi 24 mars 2025 - Nuno Freitas (Madrid & Bonn)

  On the Darmon program for the generalized Fermat equation

  In 2000, Darmon described a remarkable program to study the Generalized Fermat equation \(Ax^r + By^q = Cz^p\) using modularity of abelian varieties of GL2-type over totally real fields. However, this program relies on various hard conjectures, making it impractical, and until recently it has been successfully applied only in cases where the abelian varieties were elliptic curves. In this talk, we will first discuss the limitations of the classical modular method and some of the main ideas and issues of the Darmon program. Finally, we will discuss an application to the equation \(x^7 + y^7 = 3 z^p\).
  
  
  
  Remarque : Cette séance du STN se tiendra exceptionnellement un lundi. L'exposé de Nuno aura lieu lundi 24 mars à 10h15 en salle de séminaire (salle 218).

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• Mardi 18 mars 2025 - Filippo Nuccio (Université Jean Monnet)

  Expliquer les corps locaux à un ordinateur

  Dans cet exposé j'essaierai d'illustrer ce que signifie formaliser des mathématiques dans un assistant de preuve (j'utiliserai le logiciel Lean), en commençant par un exemple simple et par un survol de la pratique de formalisation et des avancées récentes dans ce domaine. Je décrirai ensuite le projet en cours avec de Frutos Fernandez de formalisation de l'arithmétique des corps locaux dans Lean et je conclurai en parlant (au tableau...) d'un résultat obtenu avec Caputo sur la croissance des groupes de classes dans des "fausses Z_p-extensions" de corps de nombres. et des perspectives à moyen terme de sa formalisation.
  

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• Mardi 04 mars 2025 - Sary Drappeau (Université Aix-Marseille

  Formes modulaires quantiques de poids non-nul

  Zagier a défini en 2010 les formes modulaires "quantiques" comme les applications \(f:Q→C\) qui satisfont des équations fonctionnelles du type suivant : pour tout \(\gamma\in SL(2, Z)\), la différence \(h_\gamma(x) := f(\gamma x) - |cx + d|^{-k} f(x)\) a de bonnes propriétés de régularité.
  Ici \(k\) est un nombre complexe. Parmi les exemples naturels notables, on trouve les intégrales d'Eichler de formes modulaires classiques ou de formes de Maass, ou bien des sommes de cotangentes.
  Cet exposé rendra compte d'un travail avec S. Bettin (Gênes) dans lequel on s'est intéressé au cas où \(Re(k)\neq0\), et à l'existence et la régularité de fonctions limites qui étendent \(f\) à \(R\).
  

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Février 2025

• Mardi 18 février 2025 - Théo Untrau (ENS Rennes)

  Equirépartition quantitative de sommes d'exponentielles en distance de Wasserstein

  Dans cet exposé je présenterai comment l'utilisation de distances venues de la théorie du transport optimal permet de mesurer la vitesse d'équirépartition de certaines sommes d'exponentielles qui interviennent en théorie analytique des nombres. Nous verrons que ces distances fournissent un outil de mesure plus facilement généralisable que la discrépance habituellement utilisée dans le cadre de l'équirépartition modulo 1. Il s'agit d'un travail en cours avec E. Kowalski.

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Décembre 2024

• Mardi 17 décembre 2024 - Elena Berardini (Université de Bordeaux)

  Surfaces abéliennes sur les corps finis ne contenant pas de courbes de petit genre

  Dans cet exposé, nous étudierons les surfaces abéliennes définies sur les corps finis ne contenant aucune courbe de genre inférieur ou égal à 3. Notre point de départ sera la caractérisation des classes d'isogénies des surfaces abéliennes sans courbes de genre inférieur ou égal à 2, initiée dans [1] et complétée dans [2]. Nous montrerons ensuite que, pour les surfaces abéliennes simples, contenir une courbe de genre 3 est équivalent à admettre une polarisation de degré 4. Nous caractériserons donc les classes d'isogénie de surfaces abéliennes sans courbes de genre ≤ 2 ne contenant aucune surface abélienne avec une polarisation de degré 4, en s’appuyant sur les outils développés dans [3,4]. Enfin, si le temps le permet, nous décrirons les courbes absolument irréductibles de genre 3 se trouvant sur des surfaces abéliennes ne contenant aucune courbe de genre inférieur ou égal à 2, et montrerons qu’elles ont peu de points rationnels.
  Il s'agit d'un travail en commun avec A. J. Giangreco-Maidana et S. Marseglia [2].
  
  [1] Y. Aubry, E. Berardini, F. Herbaut, and M. Perret, Algebraic geometry codes over abelian surfaces containing no absolutely irreducible curves of low genus, Finite Fields and Their Applications, 70 (2021), p. 101791.
  [2] E. Berardini, A. J. Giangreco-Maidana, S. Marseglia, Abelian surfaces over finite fields containing no curves of genus 3 or less, arXiv preprint 2408.02493v2 (2024)
  [3] E. W. Howe, Principally polarized ordinary abelian varieties over finite fields, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), pp. 2361--2401.
  [4] E. W. Howe, Kernels of polarizations of abelian varieties over finite fields, J. Algebraic Geom., 5 (1996), pp.583--608.
  
  

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• Mardi 10 décembre 2024 - Adrien Morin (Copenhagen University)

  Cohomologie Weil-étale et la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa pour les faisceaux constructibles en caractéristique p

  Soit X une variété sur un corps fini. Étant donné un ordre R dans une algèbre semi-simple sur les rationnels, par exemple l’algèbre de groupe d’un groupe fini, et un faisceau étale constructible F de R-modules sur X, on peut considérer une fonction L non-commutative naturellement associée à F. Dans cet exposé, je présenterai une formule de valeurs spéciales aux entiers négatifs pour cette fonction L, exprimée en termes de la cohomologie Weil-étale introduite par Lichtenbaum. Ce résultat est un analogue géométrique, et implique, la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa de Burns-Flach pour un motif d’Artin et ses twists négatifs sur un corps global de caractéristique p. La formule généralise aussi les résultats de Lichtenbaum et Geisser sur les valeurs spéciales aux entiers négatifs pour les fonctions zeta de variétés sur les corps finis, et les travaux de Burns-Kakde pour la fonction L non-commutative provenant d’un recouvrement Galoisien de variétés sur un corps fini.
  
  

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Novembre 2024

• Mardi 12 novembre 2024 - Oana Padurariu (Max Planck Institute Bonn)

  Bielliptic Shimura curves \(X_0^D(N)\) with nontrivial level

  In this talk, I explain how we work towards completely classifying all bielliptic Shimura curves \(X_0^D(N)\) with nontrivial level \(N\), extending a result of Rotger that provided such a classification for level one. This allows us to determine the list of all pairs \((D,N)\) for which \(X_0^D(N)\) has infinitely many degree two points. This is joint work with Frederick Saia.
  

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• Mardi 05 novembre 2024 - Sebastián Herrero (ETH Zürich)

  Counting rational points on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties

  This talk is about asymptotic formulas for the number of rational points of bounded (or large) height on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties over global fields. These varieties are realizations of split toric varieties with Picard rank 2, and their explicit models enable computations that go beyond the general expectation of the Manin-Peyre conjecture.
  This is joint work with Tobías Martínez (University of El Salvador) and Pedro Montero (UTFSM, Chile).
  

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