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Séminaire Théorie des Nombres


Organisateurs : Richard GRIFFON
Les exposés ont lieu le mardi à 10h30 en salle 2222 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).





Juin 2022


  • Mardi 21 juin 2022 - Alain Escassut (UCA)

    Exposé sur quelques travaux d'Abdelbaki Boutabaa

    Précisions à venir.

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  • Mardi 07 juin 2022 - Baptiste Peaucelle (UCA)

    À venir

    À venir

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Mai 2022


  • Mardi 17 mai 2022 - Annamaria Iezzi (Università Napoli)

    Sur le calcul de l'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique supersingulière

    Au cours des dernières années, les cryptosystèmes à base d'isogénies ont capturé l'attention de la communauté mathématique/cryptographique pour leur potentielle résistance aux attaques quantiques. Dans ce contexte, les protocoles les plus prometteurs ont comme objets centraux des courbes elliptiques supersingulières définies sur un corps fini, et leur sécurité se base donc sur le problème mathématique du calcul d'une isogénie entre deux courbes elliptiques supersingulières E et E'. Il a été montré que ce problème peut être réduit au calcul des anneaux des endomorphismes de E et E'. Dans ce séminaire, après avoir revu le contexte mathématique et cryptographique, nous présenterons alors un algorithme amélioré pour le calcul de l'anneau des endomorphismes d'une courbe elliptique supersingulière. Ceci est un travail en commun avec Jenny G. Fuselier, Mark Kozek, Travis Morrison et Changningphaabi Namoijam.

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Avril 2022


  • Mardi 05 avril 2022 - Barinder Banwait (Universität Heidelberg)

    Explicit isogenies of prime degree over number fields

    We provide an explicit and algorithmic version of a theorem of Momose classifying isogenies of prime degree of elliptic curves over number fields, which we implement in Sage and PARI/GP. Combining this algorithm with recent work of Box-Gajović-Goodman we determine the first instances of isogenies of prime degree for cubic number fields, as well as for several quadratic fields not previously known. While the correctness of the general algorithm relies on the Generalised Riemann Hypothesis, the algorithm is unconditional for the restricted class of semistable elliptic curves. This is joint work with Maarten Derickx.

    Link to preprint: ArXiv:2203.06009

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Mars 2022


  • Mardi 22 mars 2022 - Francesco Campagna (MPIM, Bonn)

    Cyclic reduction densities for elliptic curves with complex multiplication

    Let \(E\) be an elliptic curve defined over a number field \(K\). A prime of cyclic reduction for \(E\) is a prime of \(K\) modulo which \(E\) has good reduction and the point group on the reduced curve can be generated by a single element. If \(E\) has complex multiplication, the natural density of the set of primes of cyclic reduction for \(E\) always exists. In this talk I will explain how one can "explicitly" compute this density in the case \(K=\mathbb{Q}\) by pinpointing the image of the adelic Galois representation attached to the torsion points on \(E\).
    The exposé is based on a joint work with Peter Stevenhagen.

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  • Mardi 08 mars 2022 - Christian Wuthrich (Nottingham)

    Le dénominateur de la série \(L\) d'une courbe elliptique tordue par un caractère évalué en \(s=1\)

    Dans le contexte de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, on considère la valeur de la série \(L\) d'une courbe elliptique \(E/\mathbb{Q}\) tordue par un caractère \(\chi\) en \(s=1\). Normalisée par une période on obtient un nombre algébrique \(\mathscr{L}(E,\chi)\).
    La question que j'aimerais discuter c'est de savoir quand ce nombre est un entier et quels dénominateurs peuvent apparaître.

    Remarque: l'exposé aura lieu en visioconférence, en salle 114 et en simultané sur Teams (lien sur demande à l'organisateur).

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  • Mardi 01 mars 2022 - Corentin Darreye (Bordeaux)

    Oscillations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire

    Le but de cet exposé est de présenter certains résultats récents concernant la majoration, la minoration et le signe des coefficients de Fourier d'une forme modulaire de poids demi-entier. Ce sujet s'inscrit dans une thématique assez générale qui consiste à mettre en évidence des oscillations et des compensations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire. En effet, ce genre de problème est intimement lié à des questions purement arithmétiques et notamment à de nombreux résultats d'équirépartition en théorie des nombres. Ainsi, après avoir fait les rappels nécessaires et afin de motiver au maximum la finalité de mon exposé, j'en profiterai pour présenter certaines de ces applications et j'insisterai particulièrement sur celles découlant du cas particulier des formes modulaires de poids demi-entier.

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Février 2022


  • Mardi 15 février 2022 - Ricardo Menares (Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago)

    Autour de la finitude des modules singuliers qui sont des \(S\)-unités

    Un module singulier est l'invariant \(j\) d'une courbe elliptique à multiplication complexe. En reprenant une méthode due à Habegger, on montre en collaboration avec S. Herrero et J. Rivera-Letelier l'énoncé suivant: Soit \(S\) un ensemble fini de nombres premiers. Alors l'ensemble des modules singuliers qui sont des \(S\)-unités est fini.

    L'énoncé précédent peut être étendu à des fonctions modulaires plus générales. Dans cet exposé nous proposons une classification des fonctions modulaires ayant un propriété de finitude relative à une généralisation convenable de la notion de module singulier. Cette démarche pose des questions nouvelles de nature \(p\)-adique liées aux formes linéaires en logarithmes.

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  • Mardi 08 février 2022 - Sara Checcoli (UGA, Grenoble)

    Petite hauteur et degrés locaux (travail en commun avec A. Fehm)

    Un ensemble de nombres algébriques possède la propriété de Northcott (N) s'il ne contient qu'un nombre fini d'éléments de hauteur de Weil bornée. Alors que pour les corps de nombres la propriété (N) suit immédiatement du théorème de Northcott, établir sa validité pour une extension infinie des rationnels est, en général, un problème difficile.

    Cette propriété a été introduite en 2001 par Bombieri et Zannier, qui ont soulevé la question de savoir si elle est valable pour les corps à degrés locaux uniformément bornés. Ils ont également remarqué que, pour une extension galoisienne (éventuellement infinie) des rationnels ayant degrés locaux bornés en (au moins) un premier, la propriété (N) est impliquée par la divergence d'une certaine somme, mais ils ont suggéré que ce phénomène ne se produit que pour les corps de nombres. En 2011, Widmer a donné un critère pour qu'une extension infinie des rationnels ait la propriété (N) basé sur certaines conditions de croissance des discriminants des sous-extensions finies du corps.

    Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats obtenus dans ce contexte avec Arno Fehm. En particulier, nous montrons l'existence d'extensions galoisiennes infinies des rationnels pour lesquelles la somme considérée par Bombieri et Zannier est divergente et auxquelles le critère de Widmer ne s'applique pas. Nous montrons également l'existence de corps sans la propriété (N) et ayant degrés locaux (non uniformément) bornés en tous les nombres premiers. Ce dernier résultat est un corollaire d'un théorème de Fili sur les nombres $p$-adiques de petite hauteur, dont, si le temps le permet, je présenterai une version effective.

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Janvier 2022


  • Mardi 18 janvier 2022 - Marusia Rebolledo (UCA)

    Automorphismes des courbes de Cartan, travaux de G. Lido, V. Dose et P. Mercuri.

    G. Lido, V. Dose et P. Mercuri ont décrit complètement les automorphismes des courbes modulaires associées aux sous-groupes de Cartan (déployés et non déployés) : pour un niveau suffisamment grand, ces automorphismes proviennent tous d'automorphismes du demi plan de Poincaré. Dans cet exposé j’expliquerai ces résultats et leur preuve.

    Remarque: l'exposé aura exceptionnellement lieu en salle 102.

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Novembre 2021


  • Mardi 30 novembre 2021 - Séverin Philip (UGA, Grenoble)

    Degré de semi-stabilité pour les variétés abéliennes

    Pour une variété abélienne \(A\) sur un corps de nombres il existe une borne classique en fonction de la dimension de \(A\) au degré minimal \(d(A)\) d'une extension où \(A\) atteint réduction semi-stable. Après les avoir défini, on montre comment les groupes de monodromie finie (étudiés par Silverberg et Zarhin) permettent le calcul de \(d(A)\). Ensuite avec un lemme d'approximation faible «à extension finie près» et une étude d'un espace de module de variétés abéliennes on obtient un résultat de type principe local-global pour les groupes de monodromie finie qui, avec une construction utilisant des variétés abéliennes CM, donne un encadrement du maximum des \(d(A)\), pour \(A\) de dimension fixée, presque optimal et améliorant la borne classique.

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  • Mercredi 17 novembre 2021 - Harry Schmidt (Universität Basel)

    Poly-log counting and the André-Oort conjecture

    In recent work with Binyamini and Yafaev we showed how to use the counting theorem of Binyamini to replace the use of the isogeny estimates of Masser and Wüstholz in the context of the André-Oort conjecture. This reduced the full conjecture to a height bound that was announced this year by Pila, Shankar, Tsimerman et al..
    I will explain the main idea of our work and discuss other applications.

    NB: séance exceptionnelle le mercredi 17 novembre à 10h30, en salle 218.

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  • Mardi 16 novembre 2021 - Gauthier Leterrier (EPFL, Lausanne)

    Réseaux de Mordell–Weil en caractéristique 3 et empilements de sphères

    L'étude du groupe de points rationnels d'une courbe elliptique est souvent un problème délicat. Ici, on s'intéresse aux courbes elliptiques \( y^2 = x^3 + b x + t^{3^n + 1} \) sur le corps de fonctions \(\mathbb{F}_{3^{2n}}(t) \). On montrera comment calculer explicitement leur fonction \(L\), et en particulier à connaître le rang de leur groupe de points rationnels.

    On pourra ensuite, via la hauteur de Néron–Tate, considérer le réseau associé à ces courbes et étudier la proportion de l'espace euclidien recouverte par des boules centrées en les points de ce réseau (et qui sont deux-à-deux disjointes, de même rayon). Pour \(n = 3, 4, 5\), on expliquera qu'on obtient ainsi les meilleurs empilements de sphères connus à ce jour.

    Remarque: l'exposé aura exceptionnellement lieu en salle 102.

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  • Mardi 09 novembre 2021 - Alexandre Bailleul (ENS Paris Saclay)

    Quelques facettes des courses de nombres premiers

    Les courses de nombres premiers constituent un objet d'étude relativement récent. L'observation de départ de Tchebychev en 1853 était qu'il semblait y avoir toujours plus de nombres premiers congrus à \(3 \mod 4\) que de nombres premiers congrus à \(1 \mod 4\) (bien que leurs quantités sous une borne \(x\) soient équivalentes quand \(x\) tend vers l'infini). Ce phénomène, appelé biais de Tchebychev, n'a été expliqué pour la première fois qu'en 1994 par Rubinstein et Sarnak. Leur méthode, qui repose sur plusieurs conjectures inaccessibles à l'heure actuelle, a été adaptée à divers contextes (corps de nombres, polynômes irréductibles sur des corps finis, corps de fonctions de courbes sur un corps fini). Dans cet exposé, j'expliquerai cette méthode et je parlerai de résultats récents et de perspectives dans l'étude des courses de nombres premiers dans ces différents contextes.

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Octobre 2021


  • Mardi 26 octobre 2021 - Nirvana Coppola (VU Amsterdam)

    Hyperelliptic curves and Galois representations

    The arithmetic of hyperelliptic curves over local fields is an active topic of research in algebraic number theory and arithmetic geometry. In this talk, I will focus on curves defined over a \(p\)-adic field with potentially good reduction, which acquire good reduction over a wildly ramified "large" extension of the field of definition, and I will explicitly compute the associated \(\ell\)-adic Galois representation.

    Remarque: l'exposé aura lieu en visioconférence à 10h30, en salle 114 et en simultané sur Teams.

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  • Mercredi 20 octobre 2021 - Jaclyn Lang (Temple University, Philadelphia)

    A modular construction of unramified \(p\)-extensions of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\)

    In Mazur's seminal work on the Eisenstein ideal, he showed that when \(N\) and \(p > 3\) are primes, there is a weight 2 cusp form of level \(N\) congruent to the unique weight 2 Eisenstein series of level \(N\) if and only \(N = 1 \bmod p\). Calegari--Emerton, Merel, Lecouturier, and Wake--Wang-Erickson have work that relates these cuspidal-Eisenstein congruences to the \(p\)-part of the class group of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\). Calegari observed that when \(N = -1 \bmod p\), one can use Galois cohomology and some ideas of Wake--Wang-Erickson to show that \(p\) divides the class number of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\). He asked whether there is a way to directly construct the relevant degree \(p\) everywhere unramified extension of \(\mathbb{Q}(N^{1/p})\) in this case. After discussing some of this background, I will report of work with Preston Wake in which we give a positive answer to this question using cuspidal-Eisenstein congruences at prime-square level.
    Remarque: l'exposé aura lieu en visioconférence à 16h00, en salle 114 et en simultané sur Teams.

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Septembre 2021


  • Mardi 21 septembre 2021 - Pip Goodman (UCA, Clermont-Ferrand)

    Des courbes superelliptiques avec des grosses images de Galois

    En 1972, Serre a démontré son théorème célèbre de "l'image ouverte" qui concerne les courbes elliptiques sans multiplications complexes. Depuis, les travaux se sont focalisés sur des variétés abéliennes de dimension plus grande avec un anneau d'endomorphismes trivial. Ces résultats sont parfois explicites, parfois pas. Dans cet exposé, on donne une condition explicite pour qu'une jacobienne superelliptique ait une 'image grande'. En le faisant on découvre que ces images ont une forme inattendue.

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