Séminaire Théorie des Nombres

Surfaces abéliennes sur les corps finis ne contenant pas de courbes de petit genre

Dans cet exposé, nous étudierons les surfaces abéliennes définies sur les corps finis ne contenant aucune courbe de genre inférieur ou égal à 3. Notre point de départ sera la caractérisation des classes d'isogénies des surfaces abéliennes sans courbes de genre inférieur ou égal à 2, initiée dans [1] et complétée dans [2]. Nous montrerons ensuite que, pour les surfaces abéliennes simples, contenir une courbe de genre 3 est équivalent à admettre une polarisation de degré 4. Nous caractériserons donc les classes d'isogénie de surfaces abéliennes sans courbes de genre ≤ 2 ne contenant aucune surface abélienne avec une polarisation de degré 4, en s’appuyant sur les outils développés dans [3,4]. Enfin, si le temps le permet, nous décrirons les courbes absolument irréductibles de genre 3 se trouvant sur des surfaces abéliennes ne contenant aucune courbe de genre inférieur ou égal à 2, et montrerons qu’elles ont peu de points rationnels.
Il s'agit d'un travail en commun avec A. J. Giangreco-Maidana et S. Marseglia [2].

[1] Y. Aubry, E. Berardini, F. Herbaut, and M. Perret, Algebraic geometry codes over abelian surfaces containing no absolutely irreducible curves of low genus, Finite Fields and Their Applications, 70 (2021), p. 101791.
[2] E. Berardini, A. J. Giangreco-Maidana, S. Marseglia, Abelian surfaces over finite fields containing no curves of genus 3 or less, arXiv preprint 2408.02493v2 (2024)
[3] E. W. Howe, Principally polarized ordinary abelian varieties over finite fields, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), pp. 2361--2401.
[4] E. W. Howe, Kernels of polarizations of abelian varieties over finite fields, J. Algebraic Geom., 5 (1996), pp.583--608.

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Cohomologie Weil-étale et la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa pour les faisceaux constructibles en caractéristique p

Soit X une variété sur un corps fini. Étant donné un ordre R dans une algèbre semi-simple sur les rationnels, par exemple l’algèbre de groupe d’un groupe fini, et un faisceau étale constructible F de R-modules sur X, on peut considérer une fonction L non-commutative naturellement associée à F. Dans cet exposé, je présenterai une formule de valeurs spéciales aux entiers négatifs pour cette fonction L, exprimée en termes de la cohomologie Weil-étale introduite par Lichtenbaum. Ce résultat est un analogue géométrique, et implique, la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa de Burns-Flach pour un motif d’Artin et ses twists négatifs sur un corps global de caractéristique p. La formule généralise aussi les résultats de Lichtenbaum et Geisser sur les valeurs spéciales aux entiers négatifs pour les fonctions zeta de variétés sur les corps finis, et les travaux de Burns-Kakde pour la fonction L non-commutative provenant d’un recouvrement Galoisien de variétés sur un corps fini.

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Bielliptic Shimura curves \(X_0^D(N)\) with nontrivial level

In this talk, I explain how we work towards completely classifying all bielliptic Shimura curves \(X_0^D(N)\) with nontrivial level \(N\), extending a result of Rotger that provided such a classification for level one. This allows us to determine the list of all pairs \((D,N)\) for which \(X_0^D(N)\) has infinitely many degree two points. This is joint work with Frederick Saia.

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Counting rational points on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties

This talk is about asymptotic formulas for the number of rational points of bounded (or large) height on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties over global fields. These varieties are realizations of split toric varieties with Picard rank 2, and their explicit models enable computations that go beyond the general expectation of the Manin-Peyre conjecture.
This is joint work with Tobías Martínez (University of El Salvador) and Pedro Montero (UTFSM, Chile).

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