Séminaire Théorie des Nombres

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Cohomologie Weil-étale et la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa pour les faisceaux constructibles en caractéristique p

Soit X une variété sur un corps fini. Étant donné un ordre R dans une algèbre semi-simple sur les rationnels, par exemple l’algèbre de groupe d’un groupe fini, et un faisceau étale constructible F de R-modules sur X, on peut considérer une fonction L non-commutative naturellement associée à F. Dans cet exposé, je présenterai une formule de valeurs spéciales aux entiers négatifs pour cette fonction L, exprimée en termes de la cohomologie Weil-étale introduite par Lichtenbaum. Ce résultat est un analogue géométrique, et implique, la conjecture équivariante des nombres de Tamagawa de Burns-Flach pour un motif d’Artin et ses twists négatifs sur un corps global de caractéristique p. La formule généralise aussi les résultats de Lichtenbaum et Geisser sur les valeurs spéciales aux entiers négatifs pour les fonctions zeta de variétés sur les corps finis, et les travaux de Burns-Kakde pour la fonction L non-commutative provenant d’un recouvrement Galoisien de variétés sur un corps fini.

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Bielliptic Shimura curves \(X_0^D(N)\) with nontrivial level

In this talk, I explain how we work towards completely classifying all bielliptic Shimura curves \(X_0^D(N)\) with nontrivial level \(N\), extending a result of Rotger that provided such a classification for level one. This allows us to determine the list of all pairs \((D,N)\) for which \(X_0^D(N)\) has infinitely many degree two points. This is joint work with Frederick Saia.

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Counting rational points on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties

This talk is about asymptotic formulas for the number of rational points of bounded (or large) height on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties over global fields. These varieties are realizations of split toric varieties with Picard rank 2, and their explicit models enable computations that go beyond the general expectation of the Manin-Peyre conjecture.
This is joint work with Tobías Martínez (University of El Salvador) and Pedro Montero (UTFSM, Chile).

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