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Séminaire Théorie des Nombres


Organisateurs : Richard GRIFFON
Les exposés ont lieu le mardi à 10h30 en salle 218 du bâtiment de mathématiques (consulter le plan d'accès au laboratoire).
Agenda global au format ical





Mai 2024


  • Mardi 14 mai 2024 - Céline Maistret (University of Bristol)

    À venir

    À venir

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  • Mardi 07 mai 2024 - Journée Lyon / Clermont-Ferrand (Fédération AURA)

    Programme à venir

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Avril 2024


  • Mardi 30 avril 2024 - Peter Stevenhagen (Universiteit Leiden)

    À venir

    À venir

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  • Mardi 09 avril 2024 - Kevin Destagnol (Université Paris-Saclay)

    Moyennes de fonctions arithmétiques évaluées en des polynômes et applications

    On expliquera comment estimer la moyenne d'une fonction arithmétique évaluée en des polynômes pourvu que la fonction arithmétique se comporte bien dans les progressions arithmétiques et que le nombre de variables des polynômes soitt suffisamment grand. On donnera alors quelques applications au problème de Loughran--Smeets qui étudie la probabilité avec laquelle une équation diophantienne choisie au hasard au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Efthymios Sofos et Leonard Hochfilzer.

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Mars 2024


  • Mardi 19 mars 2024 - Elisa Lorenzo García (Université de Neuchâtel)

    Bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels des courbes sur les corps finis

    Pour un genre \(g>0\) donné, nous donnons des bornes inférieures pour le nombre maximal de points rationnels d'une courbe projective lisse absolument irréductible de genre \(g\) sur le corps fini \(\mathbb{F}_q\).
    D'abord, comme conséquence de la théorie de Katz-Sarnak, on obtient pour tout \(g>0\) donné, tout \(\epsilon>0\) et tout \(q\) suffisamment grand, l'existence d'une courbe de genre \(g\) sur \(\mathbb{F}_q\) avec au moins \(1+q+(2g−\epsilon)\sqrt{q}\) points rationnels.
    Puis en utilisant les sommes de puissances des traces de Frobenius des courbes hyperelliptiques, on obtient des bornes inférieures pour lesquelles on peut controler le \(q\) le plus petit pour lequel elles sont valides.
    Enfin, on donne une construction explicite qui produit des courbes de genre \(g\) sur \(\mathbb{F}_q\) avec au moins \(1+q+4\sqrt{q}-32\) points.
    En plus, on ira au-delà de la théorie de Katz-Sarnak pour essayer d'expliquer les asymétries observées dans la distribution du nombre de points.

    Celui-ci est un travail conjoint avec J. Bergström, E. Howe et C. Ritzenthaler.

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  • Mardi 12 mars 2024 - Martin Azon (UCA)

    Groupes de Tate-Shafarevich de surfaces abéliennes sur \(\mathbb{F}_{q}(t)\)

    Dans cet exposé nous étudierons certaines surfaces abéliennes \(S\) définies sur le corps de fonctions \(\mathbb{F}_{q}(t)\), tout comme leurs groupes de Tate-Shafarevich. Nous verrons que ces groupes \(\operatorname{Sha}(S)\) sont finis (conjecture de BSD) et de cardinal grand comparé à la hauteur de Faltings exponentielle et le conducteur de \(S\). Ceci montre dans le cadre de la dimension 2 l’optimalité d’une majoration établie par Goldfeld et Szpiro pour les courbes elliptiques et généralisée par Hindry et Pacheco au cas de la dimension quelconque.

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Février 2024


  • Mardi 13 février 2024 - Alain Escassut (UCA)

    Croissance des fonctions entières ultramétriques

    Let \(\mathbb K\) be a complete ultrametric algebraically closed field and let \(f\) be an entire function in \(\mathbb K\) whose order of growth is finite. We show that the type of growth is finite if and only if so is the cotype. We give bounds for the cotype of growth and also for the lower cotype of growth. We show that the type of growth of \(f\) is equal to its lower type if and only if its cotype is equal to its lower cotype and when these are realised, then the cotype is the product of the type by the order of growth and the order of growth (if \(>0\)), is then equal to the lower order of growth. If an entire function \(h\) has an order of growth strictly inferior to the lower order of an entire function \(f\) , then \(h\) is a small function with respect to \(f\). A similar comparison is made with the type of growth.


    Suppose that \(\mathbb K\) is of characteristic \(0\). Given a meromorphic function \(f= g / h\), if \(f\) admits primitives and if the type or the cotype of \(h\) is finite, then \(f\) assumes all values infinitely many times.
    A counter-example is constructed showing that if the lower order of growth is equal to the order, that does not imply that the lower type of growth is equal to the type of growth, although such a claim was made for complex meromorphic functions and we contest the proof.

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Janvier 2024


  • Mardi 30 janvier 2024 - Valentijn Karemaker (Utrecht University)

    When is a polarised abelian variety determined by its p-divisible group?

    We will study the Siegel moduli space of abelian varieties in characteristic p and in particular its supersingular locus. We first determine precisely when this locus is geometrically irreducible. Since it was known that the number of components is a class number, this comes down to solving a “class number one problem” or “Gauss problem”.
    Next, we will show when a polarised abelian variety is determined by its p-divisible group. This can be viewed as a Gauss problem for central leaves, which are the loci consisting of points whose associated p-divisible groups are isomorphic. Our solution involves mass formulae, computations of automorphism groups, and a careful analysis of Ekedahl-Oort strata in genus 4.

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Décembre 2023


  • Mardi 12 décembre 2023 - Ziyang Gao (Leibniz U. Hannover)

    Lieux de dégénérescence dans les familles de variétés abéliennes et leurs applications

    Étant donné un schéma abélien en caractéristique 0 et une sous-variété X, on peut définir le t-ième lieu de dégénérescence de X pour chaque nombre entier t. Récemment cette notion géométrique a eu plusieurs applications dans la géométrie diophantienne (surtout pour t=0 et t=1) pour la majoration uniforme sur le nombre des points rationnels sur les courbes, pour prouver la conjecture de Mordell-Lang uniforme et la conjecture de Manin-Mumford relative. Dans cet exposé, je vais expliquer la définition de ces lieux de dégénérescence dans la variété abélienne universelle ainsi que leurs applications mentionnées ci-dessus.



    Attention : la séance aura lieu à 10h15 en salle 218.

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  • Lundi 04 décembre 2023 - Atelier J-invariant

    Atelier J-invariant

    Du 4 au 8 décembre, l'équipe TN accueille un atelier de travail du projet ANR J-invariant ! À cette occasion quelques exposés (un ou deux par jour) sont prévus.

    Le programme détaillé est disponible sur la page suivante : https://lmbp.uca.fr/~gaudron/Atelier_2023.html

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Novembre 2023


  • Mardi 28 novembre 2023 - Guido Lido (U. Tor Vergata, Roma)

    À venir

    À venir

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  • Mardi 21 novembre 2023 - Nicolas Billerey (UCA)

    Congruences et formes modulaires II

    Je poursuivrai la discussion entamée lors de mon précédent exposé sur les congruences entre séries d'Eisenstein et formes paraboliques. En particulier, je commencerai par rappeler la conjecture à laquelle j'étais arrivé et expliquerai ensuite quelques cas particuliers que nous avons traités.

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  • Mardi 07 novembre 2023 - Ruida Di (Leibniz U. Hannover)

    Uniform Bogomolov Conjecture for Tori

    We give a new proof of a uniform version of Bogomolov conjecture for tori. To do this, we prove an equidistribution result on non-degenerate subvarieties. Our proof is inspired by Dimitrov-Gao-Habegger, Kühne, Gao-Ge-Kühne's approach to the uniform Mordell-Lang conjecture.

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Octobre 2023


  • Mardi 24 octobre 2023 - Éric Gaudron (UCA)

    Approximation diophantienne sur les sphères

    Le théorème d’approximation de Dirichlet sur une sphère consiste à approcher un vecteur de norme (euclidienne) 1 par un vecteur à coordonnées rationnelles également de norme 1. On présentera un énoncé de ce type, qui améliore des résultats antérieurs de Kleinbock et Merrill (2015) et Moshchevitin (2017).
    On évoquera aussi une extension à des formes quadratiques non définies positives.

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  • Mardi 10 octobre 2023 - Nicolas Billerey (UCA)

    Congruences et formes modulaires

    Je discuterai de questions relatives aux congruences entre
    formes modulaires paraboliques et séries d'Eisenstein.

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  • Jeudi 05 octobre 2023 - Ricardo Menares (U.C. de Chile, Santiago)

    Autour du phénomène de Tate-Voloch sur une puissance de la courbe modulaire

    Tate et Voloch ont démontré qu'un point de torsion d'un tore algébrique ne peut pas être \(p\)-adiquement trop près d'une sous-variété donné, au moins qu'il appartienne à la sous-variété. Puis ils ont conjecturé que le même énoncé est valable lorsque l'on remplace le tore par une variété semi-abélienne. Scanlon a démontré cette conjecture.

    Habegger a poursuivi cette analogie où maintenant la variété ambiante est un produit des courbes modulaires et les points de torsion sont remplacés par le points CM. Il a montré un énoncé du type Tate-Voloch sous l'hypothèse que la réduction modulo \(p\) des points CM est ordinaire. Il a aussi montré que la conclusion attendue est fausse pour les points CM à réduction supersingulière. Néanmoins, il a suggéré que la vitesse d'approximation vers sous-variété d'un produit de courbes modulaires, par une suite de points CM à réduction supersingulière, doit être minorée par une puissance négative de la hauteur des points CM. Nous confirmons cette propriété dans le cas où la sous-variété est spéciale.



    Cette séance aura exceptionnellement lieu jeudi 5 octobre à 16h30 en salle 218.

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