Dans le cadre du Labex IMOBS3, des journées contrôle et application sont organisées à Clermont-Ferrand du lundi 4 octobre au mercredi 6 octobre 2021, au laboratoire de mathématiques (UMR 6620 CNRS/UBP) de l'Université Clermont Auvergne. Ces journées sont organisées par Arnaud Münch.

Les journées présenteront des communications sur des avancées récentes dans des domaines aux interfaces entre l'analyse numérique, le calcul des variations et l'analyse des EDPs. Elles s'adressent à des spécialistes, chercheurs confirmés et jeunes chercheurs en formation (doctorants et postdoctorants).

Lundi 4 octobre 2021

Ouverture à partir de 13h15.

13 h30 - 14 h 30 : Enrique Fernandez-Cara
On the control of some free-boundary problems Exposé

PDF 14h30 - 15 h 30 : Kevin Le Balc'h
Inégalités d'observabilité pour des équations elliptiques avec potentiel en 2D et applications au contrôle Exposé

Pause Café

15 h 45 - 16 h 15 : Arthur Bottois
Optimization of non cylindrical domains for the null controllability of the 1D wave equation Exposé

16 h 15 - 17 h 15 : Erik Burman
Spacetime finite element methods for control problems subject to the wave equation Exposé



Mardi 5 octobre 2021

8 h 45 - 9 h 45 : Sébastien Court
Hybrid optimal control problems for partial differential equations Exposé

Pause Café

10h00 - 11 h 00 : Eloïse Comte
A game theory approach for the optimal control of groundwater pollution Exposé

11 h 00 - 12 h 00 : Michel Duprez
Models of mosquito population control strategies for fighting against arboviruses Exposé

Pause Déjeuner

13 h 30 - 14 h 30 : Thibault Liard
Boundary sliding mode control of hyperbolic systems Exposé

14 h 30 - 15 h 30 : Térence Bayen
Sur la condition transverse pour le problème du temps de crise

Pause Café

15 h 45 - 16 h 45 : Farid Ammar-Khodja
Contrôlabilité de système non autonomes d'équations d'ondes Exposé



Mercredi 6 octobre 2021

8 h 30 - 9 h 30 : Hoai-Minh Nguyen
Decay for the nonlinear KdV equations at critical lengths Exposé

9 h 30 - 10 h 30 : Emmanuel Trélat
Constructive exact control of semilinear 1D wave equations by a least-squares approach Exposé

Pause café.

10 h 40 - 11 h 40 : Diego Araujo de Souza
On the uniform controllability for a family of non-viscous and viscous convectively filtered Burgers equations Exposé

11 h 40 - 12 h 40 : Sylvain Ervedoza
Sur l'espace atteignable pour des équations de la chaleur pertubées Exposé

Clôture




Farid Ammar-Khodja
Titre : Contrôlabilité de système non autonomes d'équations d'ondes
Résumé : Il s'agit d'étudier la contrôlabilité exacte de deux équations d'ondes en dimension un d'espace, couplées par des termes d'ordre un dont les coefficients dépendent du temps et de l'espace. Il s'avère que le problème difficile est celui de la contrôlabilité approchée. Quelques exemples sont proposés pour lesquels le problème est résolu mais la question générale demeure. Travail en collaboration avec Yacine Mokhtari.

Diego Araujo de Souza
Title : On the uniform controllability for a family of non-viscous and viscous convectively filtered Burgers equations
Abstract : In this talk we present the global controllability of families of the so called non-viscous and viscous convectively filtered Burgers equations by using boundary and space independent distributed controls. In these equations, the usual convective velocity of the Burgers equation is replaced by a regularized velocity, induced by a Helmholtz filter of characteristic wavelength $\alpha$. We will present two main results: i) the global exact controllability (uniform with respect to $\alpha$) for the non-viscous equation; ii) a global uniform exact controllability to constant states for the viscous equation. We will finish the talk with some comments and open problems.

Kevin Le Balc'h
Titre : Inégalités d'observabilité pour des équations elliptiques avec potentiel en 2D et applications au contrôle
Résumé : Le but de l'exposé est de présenter des nouvelles estimations d'observabilité " optimales " pour des équations elliptiques non homogènes, posées sur un domaine \Omega en 2D, avec observation sur un sous domaine \omega. Plus précisément, pour un potential V borné à valeurs réelles, on démontre que le coût de l'observation de l'opérateur -\Delta + V, est de l'ordre de \exp( |V|_{\infty}^{1/2} \log^{1/2}(|V|_{\infty}). La méthode de preuve est inspirée d'un travail récent de Logunov, Malinnikova, Nadirashvili, Nazarov portant sur la conjecture de Landis. Je présenterai en détail la preuve découpée en trois grandes parties : une construction de domaine perforé basée sur l'ensemble nodal de la solution pour se ramener à un domaine à constante de Poincaré petite, une transformation quasi-conforme pour se ramener à une fonction harmonique et des estimations de Carleman conjuguées à des inégalités de Harnack. Enfin, je terminerai par l'application de ces nouveaux résultats au contrôle d'équations elliptiques semi-linéaires, dans l'esprit des travaux de Fernandez-Cara, Zuazua, concernant la contrôlabilité à zéro d'équations de la chaleur semi-linéaires. C'est un travail en commun avec Sylvain Ervedoza.

Térence Bayen
Titre : Sur la condition transverse pour le problème du temps de crise
Résumé : Cet exposé porte sur l'étude d'un problème de contrôle optimal appelé "temps de crise". Il intervient en théorie de la viabilité et rentre dans le cadre des problèmes dits "hybrides" pour lesquels la dynamique et/ou le coût sont définis sur des strates. Ceci implique en particulier la discontinuité du Hamiltonien associé par rapport à l'état. Le principe du maximum hybride constitue une extension du principe de Pontryagin et a justement été développé pour le calcul effectif d'une commande optimale dans ce cadre. L'obtention de ce principe requiert cependant qu'à chaque franchissement d'une strate à une autre, une trajectoire optimale soit transverse (pas de chattering ni de franchissement tangent au bord d'une strate). Cette hypothèse est fondamentale et c'est celle-ci que nous souhaitons mettre en évidence dans cet exposé dans le cadre du temps de crise. A travers une méthode de régularisation, nous verrons donc comment elle intervient pour l'obtention des conditions nécessaires d'optimalité. Ceci nous permettra également d'obtenir d'autres conditions suffisantes (plus générales) pour l'obtention des conditions nécessaires d'optimalité. Ceci est un travail en collaboration avec K. Boumaza et A. Rapaport.

Arthur Bottois
Title : Optimization of non cylindrical domains for the null controllability of the 1D wave equation
Abstract : This work is concerned with the null controllability of the one-dimensional wave equation over non-cylindrical distributed domains. The controllability in that case has been obtained by Castro, Cindea and Münch in 2014 for domains satisfying the usual geometric optic condition. We analyze the problem of optimizing the non-cylindrical support $q$ of the control of minimal $L^2(q)$-norm. In this respect, we prove a uniform observability inequality for a class of domains $q$ satisfying the geometric optic condition. The proof based on the d'Alembert formula relies on arguments from graph theory. Numerical experiments are discussed and highlight the influence of the initial condition on the optimal domains.

Erik Burman
Title : Spacetime finite element methods for control problems subject to the wave equation
Abstract : We consider the null controllability problem for the wave equation, and analyse a stabilized finite element method formulated on a global, unstructured spacetime mesh. We prove error estimates for the control function given by the computational method. The proofs are based on the regularity properties of the control function given by the Hilbert Uniqueness Method, together with the stability properties of the numerical scheme. The talk is based on joint work with Lauri Oksanen, Ali Feizmohammadi and Arnaud Münch.

Eloise Comte
Title : A game theory approach for the optimal control of groundwater pollution
Abstract : PDF

Sébastien Court
Title : Hybrid optimal control problems for partial differential equations
Abstract : Hybrid optimal control problems consist in optimizing a control function and, at the same time, parameters modeling the qualitative behavior of a dynamical system. These parameters can be for example switching times, at which the dynamics of the system changes, or at which an actuator is activated or deactivated. They can also be curves or surfaces where we expect to maximize a given objective function. In general, these parameters lead to a lack of regularity for the state and control variables of the system. We developed specific methods in order to circumvent this difficulty, both from a theoretical point of view (for the derivation of optimality conditions) and from a numerical point of view. We will explain how we derive rigorously optimality conditions for hybrid optimal control problems governed by different partial differential equations (PDEs). We exploit them for different type of PDEs, such as for instance semilinear parabolic equations, coupled systems or hyperbolic conservation laws. Numerical illustrations will be presented, whose qualitative aspects underline the original motivations. The latter ranges from the maximization of a population density at a time chosen to be optimal, the maximization of a mechanical pressure related to defibrillation, to the creation, in a basin, of the highest possible wave, whose the shape and location are let free. Work in collaboration with Laurent Pfeiffer (Polytechnique) and Karl Kunisch (University of Graz and RICAM).

Michel Duprez
Titre : Models of mosquito population control strategies for fighting against arboviruses
Abstract : In the fight against vector-borne arboviruses, an important strategy of control of epidemic consists in controlling the population of the vector, Aedes mosquitoes in this case. Among possible actions, two techniques consist either in releasing sterile mosquitoes to reduce the size of the population (Sterile Insect Technique) or in replacing the wild population by one carrying a bacteria, called Wolbachia, blocking the transmission of viruses from insects to humans. This talk is devoted to studying the issue of optimizing the dissemination protocol for each of these strategies, in order to get as close as possible to these objectives. Starting from a mathematical model describing population dynamics, we will study the control problem and introduce the cost function standing for population replacement and sterile insect technique. Then, we will establish some properties of the optimal control and illustrate them with numerical simulations.

Sylvain Ervedoza
Title : Sur l'espace atteignable pour des équations de la chaleur pertubées.
Résumé : Dans ce travail, nous présenterons des résultats récents sur l'espace atteignable pour des équations de la chaleur perturées, d'un part par des termes non locaux en espace et, d'autre part par des potentiels. Le résultat clé de notre approche est que l'équation de la chaleur génère un C0 semigroupe sur l'espace atteignable de l'équation de la chaleur, permettant ainsi de mettre en oeuvre des arguments perturbatifs standards. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Kevin Le Balc'h et Marius Tucsnak.

Enrique Fernandez-Cara
Title : On the control of some free-boundary problems
Abstract This talk is concerned with the theoretical and numerical control of several free-boundary problems. Among them, we will consider the one-phase and two-phase Stefan problems with distributed or boundary controls. We will prove some local results. More precisely, it will be shown that there exist controls such that the associated dependent variable and interface are respectively steered to zero and a prescribed location provided the initial data and interface position are sufficiently close to the targets. We will also present some numerical methods for the computation of null controls and will illustrate the techniques with several numerical experiments. Several parts of the work have been done in collaboration with J. Límaco, S. de Menezes, D.A. Souza and R.K.C. Araújo.

Thibault Liard
Title : Boundary sliding mode control of hyperbolic systems
Abstract : PDF

Hoai-Minh Nguyen
Title : Decay for the nonlinear KdV equations at critical lengths
Abstract : This talk is on the decay for the nonlinear KdV equation in a bounded interval equipped with the Dirichlet boundary condition and the Neumann boundary condition on the right. It is well-known from the work of Lionel Rosier in 1997 that there is a set of critical lengths for which the solutions of the linearized system conserve the L2-norm if their initial data belong to a finite dimensional space. In this talk, I will present my recent results on the upper bound of the rate decay of the solutions of the nonlinear KdV system for a class of critical lengths and the lower bound of the rate decay of the solutions of the nonlinear KdV system for all critical lengths with small initial data. The analysis is inspired by the power series expansion approach and involves the theory of quasi-periodic functions.

Emmanuel Trélat
Titre : Constructive exact control of semilinear 1D wave equations by a least-squares approach
Abstract : It has been proved by Zuazua in the nineties that the internally controlled semilinear 1D wave equation $\partial_{tt}y-\partial_{xx}y + g(y)=f 1_{\omega}$, with Dirichlet boundary conditions, is exactly controllable in $H^1_0(0,1)\cap L^2(0,1)$ with controls $f\in L^2((0,1)\times(0,T))$, for any $T>0$ and any nonempty open subset $\omega$ of $(0,1)$, assuming that $g\in \mathcal{C}^1(\R)$ does not grow faster than $\beta\vert x\vert \ln^{2}\vert x\vert$ at infinity for some $\beta>0$ small enough. The proof, based on the Leray-Schauder fixed point theorem, is however not constructive. In this article, we design a constructive proof and algorithm for the exact controllability of semilinear 1D wave equations. Assuming that $g^\prime$ does not grow faster than $\beta \ln^{2}\vert x\vert$ at infinity for some $\beta>0$ small enough and that $g^\prime$ is uniformly H\"older continuous on $\R$ with exponent $s\in[0,1]$, we design a least-squares algorithm yielding an explicit sequence converging to a controlled solution for the semilinear equation, at least with order $1+s$ after a finite number of iterations. The talk is based on joint work with Arnaud Münch.


Ces journées font suite aux journées de juin 2011, aux journées de septembre 2014 et aux journées de octobre 2017


Les exposés se dérouleront en distanciel. Les liens de connection seront disponibles ici dans la matinée du lundi 4 octobre.

      

      

Ces journées sont organisées avec le soutien financier de l'Université Clermont Auvergne (Clermont-Ferrand), du Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal de l'Université Clermont Auvergne (UMR 6620 CNRS/UBP), du GDR/GDRE CONEDP , du Conseil Régional d'Auvergne, et du Conseil Général du Puy-de-Dôme.