Von Neumann, moyennes et démesure

Ce cycle est organisé par la Société mathématique de France et la Bibliothèque nationale de France. Il est destiné au grand public, aux professeurs du second degré, aux lycéens et étudiants. Les classes sont les bienvenues. Les enseignants qui souhaiteraient organiser la venue de leur classe peuvent prendre contact avec les organisateurs à l'adresse suivante pour une étude de la prise en charge des frais de transport.

Von Neumann, moyenne et démesure

Les extra-terrestres font-ils des mathématiques ?

On prétend qu’Albert Einstein, qui était son collègue à Princeton, considérait John von Neumann comme un extra-terrestre et nous verrons qu’il n’avait pas tort.

Néanmoins, John von Neumann était bien un être humain et apparaît comme une figure emblématique du XXème siècle. Né en 1903 à Budapest sous le nom de Neumann János Lajos, il s’engage d’abord dans des études de chimie à l’université de Berlin, car son père ne voulait pas qu’il étudie les mathématiques. Il obtient ensuite son diplôme en génie chimique à l’école polytechnique fédérale de Zürich en 1926 – tout en étudiant les mathématiques par lui-même. C’est ainsi qu’il obtient la même année son doctorat de mathématiques à l’université de Budapest. Entre 1926 et 1930, il enseigne à Berlin, Hambourg, Göttingen avant de partir pour les USA pour devenir professeur à l’université de Princeton. En 1933, il devient un des premiers professeurs du nouvel « Institute for Advanced Study ». Pendant la guerre, il participera au projet Manhattan de fabrication de la première bombe atomique.

Au cours de sa vie il aura fait des contributions majeures à de très nombreux domaines des sciences : chimie, économie et théorie des jeux, météorologie, en passant par les mathématiques, la physique et l’informatique. Cet incroyable génie a en effet apporté des contributions fondamentales en mécanique quantique ; il est, avec Alan Turing, le père des ordinateurs modernes. Il s’est attaqué à de nombreux problèmes concrets, en combinant une approche pragmatique et une approche rigoureusement théorique. Ses découvertes mathématiques sont multiples et exceptionnelles, dans des domaines innombrables et très divers.

Ce personnage plus grand que nature, qui pensait plus vite que n’importe qui, était aussi un grand fervent de soirées bruyantes et bien arrosées. Très controversé pour son rôle de conseiller scientifique pour l’Armée américaine, il disparaît prématurément en 1957, emporté par un cancer.

Le texte que nous allons évoquer date de 1929 (il a alors 26 ans) et s’intéresse au problème de la mesure. Que peut-on mesurer ? Le paradoxe de Banach-Tarski (1924), qui repose sur des idées de Hausdorff (1914), prétend qu’il est théoriquement possible de décomposer une orange en un certain nombre de morceaux qu’on pourra recombiner pour former deux oranges de même taille (et même poids !) que celle de départ. On sait que la construction analogue n’est pas possible en dimension 2. J. von Neumann va expliquer que la raison profonde se dissimule dans le groupe des déplacements autorisés pour la recombinaison et son caractère «moyennable» ou non. La notion qu’il a dégagée va se répandre dans divers domaines des mathématiques et continue à être très étudiée de nos jours.

Cette conférence sera l’occasion de rencontrer des situations paradoxales, des groupes libres, des arbres, quelques pommes de terre et même une table de ping-pong.

Ancien élève de l’école normale supérieure de Cachan, Damien Gaboriau est directeur de recherches du CNRS, en poste à l’école normale supérieure de Lyon. Spécialiste de la théorie géométrique et mesurée des groupes, il est l’auteur d’une vingtaine d’articles de recherche publiés dans les meilleures revues de mathématiques. Il a reçu le prix Gabrielle Sand de l’académie des sciences en 2003, a été conférencier invité au congrès international des mathématiciens de 2010 en Inde, et est membre du comité de rédaction de plusieurs journaux internationaux de mathématiques.