Paul Erdös et l'anatomie des nombres entiers

Ce cycle est organisé par la Société mathématique de France et la Bibliothèque nationale de France. Il est destiné au grand public, aux professeurs du second degré, aux lycéens et étudiants. Les classes sont les bienvenues. Les enseignants qui souhaiteraient organiser la venue de leur classe peuvent prendre contact avec les organisateurs à l'adresse suivante pour une étude de la prise en charge des frais de transport.

Paul Erdös et l'anatomie des nombres entiers

Avec le développement de la théorie des probabilités au début du XXè siècle, un nouveau champ d'investigation s'offre à l'arithmétique : étudier les nombres entiers non plus sous l'angle algébrique, comme par le passé, mais d'un point de vue statistique. Que peut-on dire de « presque tout » nombre ? Et avec quelle précision ? En 1917 Hardy et Ramanujan montrent que le nombre des facteurs premiers d'un entier aléatoire peut être sommairement décrit à l'aide de sa seule taille. C'est la première naissance de la théorie probabiliste des nombres, dont le prodige hongrois Paul Erdös, né en 1913, est l'un des rares mathématiciens à saisir la portée dès le milieu des années 1930. En 1940, Erdös et Kac lient définitivement la théorie des nombres à celle des probabilités en montrant que le nombre des diviseurs premiers d'un entier suit statistiquement une loi de Gauss. Ce résultat fondamental est le socle d'une branche florissante de l'arithmétique qui prend pour objet l'anatomie des entiers, autrement dit qui cherche à donner une idée statistique de leur structure multiplicative : comment les facteurs premiers sont-ils répartis ? Existe-t-il une loi standard pour passer d'un facteur au suivant ? Si oui, avec quelle précision peut-on la décrire ? etc. Nous nous proposons d'évoquer le personnage haut en couleurs de Paul Erdös et de donner quelques clefs pour appréhender ces découvertes d'une extraordinaire fécondité.

Ancien élève de l'École polytechnique, Gérald Tenenbaum est professeur de mathématiques à l'université de Lorraine. Spécialiste de théorie analytique et probabiliste des nombres, il a notamment collaboré étroitement avec Paul Erdos. Il est auteur de plus de 150 articles de recherche et d'une demi-douzaine d'ouvrages de mathématiques. Il a reçu le prix Gaston Julia en 1976, la médaille Albert Châtelet d'algèbre et théorie des nombres en 1985 et, conjointement avec Michel Mendès France, le prix Paul Doistau-Émile Blutet de l'information scientifique de l'Académie des sciences en 1999. Gérald Tenenbaum est également écrivain. Son roman L'Ordre des jours (Héloïse d'Ormesson) a été lauréat du prix Erckmann-Chatrian en 2008.