L’objectif que nous nous fixons ici est de présenter quelques
méthodes numériques pour la recherche des zéros d’une fonction
non-linéaire
Par exemple, dans la figure suivante nous représentons graphiquement une fonction non-linéaire ainsi que ses zéros trouvés de manière numérique.
Pour formaliser les notations, on considère la définition suivante des zéros d’une fonction.
Définition
Soit
Il est naturel de se poser la question de l’existence des zéros:
- un ou plusieurs zéros?
- comment déterminer les zéros d’une fonction en sachant qu’un calcul exact il est rarement possible?
En général, on approche les zéros des fonctions non-linéaires à
l’aide des méthodes itératives. Plus précisément, soit
Plusieurs critères d’arrêt existent :
pour un
Une fois qu’on sait que la suite
Définition
Soit
Si
: convergence linéaire : convergence quadratique
Si la limite
existe et elle est finie, alors la convergence est d’ordre au moins
Définition
S’il existe une suite
Il existe plusieurs méthodes classique d’approximation des zéros. Nous allons présenter les méthodes suivantes:
- méthode de la dichotomie
- méthode de la fausse position
- méthode de point fixe
- méthode de Newton.
Méthode de la dichotomie
On rappel d’abord un très connu résultat donnant l’existence d’un zéro pour les fonctions continues changeant de signe: le théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème
Soit
Alors il existe
La méthode de la dichotomie permet d’approcher un zéro d’une fonction vérifiant les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires. Voici une illustration graphique de cette méthode.

L’idée de la méthode peut être résumé par:
- on prend
- si
- si
alors le zéro de est à chercher dans - aller au point 1. si on n’a pas convergé.
Plus précisément, nous allons construire trois suites récurrentes
,- Pour tout
:- si
alors , - si
alors , - si
alors , .
Théorème
Soit
L’idée de la preuve est de montrer que les suites
De point de vue algorithmique, la méthode de la dichotomie peut être synthétisée comme suit:
Données : nmax
tant que nmax
:
si
sinon:
Remarquer que pour la construction de la suite
Méthode de la fausse position
Comme la méthode de la dichotomie, la méthode de la fausse position construit une suite récurrente pour approcher un zéro d’une fonction continue qui change de signe sur un intervalle. Voici une illustration graphique de la méthode :

Le principe de la méthode peut être résumé par:
- si
alors - si
alors - aller au point 1. si on n’a pas convergé.
Plus précisément, nous allons construire trois suites récurrentes
,- Pour tout
:- si
alors , - si
alors , - si
alors , .
Nous pouvons démontrer le résultat de convergence suivant:
Théorème
Soit
Alors la suite
Méthode de point fixe
L’idée de la méthode de point fixe est d’écrire le problème de
recherche d’un zéro de
Exemple
On peut choisir la fonction
avec .
Le principe de la méthode de point fixe est de construire une
suite itérative
Il est facile à voire que si
Exemple : On peut mettre en évidence plusieurs comportements
différents de la méthode de point fixe en fonction des valeurs de
la dérivée de
-
Si
pour tout la suite donnée par la méthode de point fixe a un comportement similaire à celui illustré dans la figure suivante: -
Si
pour tout la suite donnée par la méthode de point fixe a un comportement similaire à celui illustré dans la figure suivante: -
Si
pour tout la suite donnée par la méthode de point fixe a un comportement similaire à celui illustré dans la figure suivante: -
Si
pour tout la suite donnée par la méthode de point fixe a un comportement similaire à celui illustré dans la figure suivante:
Une notion qui couvrira les deux cas précédents (
Définition
Soit
On dit que
Il est facile à démontrer que si
Théorème de Banach de point fixe
Soit
est un fermé non-vide, , , est contractante sur . Il existe donc telle que pour tout on a
Alors,
Démonstration.
Démontrons d’abord l’unicité du point fixe. Supposons qu’il existe deux points fixes distincts
En utilisant le fait que les deux points fixes sont distincts et que
Montrons maintenant l’existence d’un point fixe. Pour cela nous allons construire une suite
De plus, pour tout
Alors, la suite
Remarque
Les outils employés pour la preuve du théorème précédent ne sont
pas spécifiques au fait que la fonction
Le résultat suivant est une conséquence directe du théorème de point fixe de Banach.
Théorème (convergence globale)
Soit
est un fermé non-vide de , : , est contractante sur de constante de contraction .
Alors, la suite
Démonstration. Le fait que la suite
Commençons par la première estimation.
Mais
d’où
Pour la deuxième partie de la preuve on commence par évaluer
On obtient immédiatement que
Nous démontrons le résultat suivant de convergence locale pour la méthode de point fixe.
Théorème (convergence locale)
Soit
de classe sur , possède un point fixe situé à l’intérieur de , .
Alors, il existe
Démonstration.
La première étape de la preuve est de montrer qu’il existe
Alors
Mais
donc
La fonction
Pour le théorème de convergence globale il faut que
donc on a au moins une convergence linéaire.
Cas particulier:
Soit
A l’aide du théorème de Taylor-Lagrange on a:
et donc la convergence de la méthode de point fixe et au moins quadratique.
Méthode de Newton
Le principe de la méthode de Newton est illustré graphiquement dans la figure suivante.

La méthode de Newton pour approcher un zéro de la fonction
dérivable
Autrement dit, on définit
On démontre le théorème suivant de convergence locale.
Théorème
Soit
Démonstration.
Comme
Soit
Vue le choix de
Alors
Soit
En rappelant que
La définition de la suite
Donc
Notons
Remarquer que la méthode de Newton donne seulement la convergence locale. La combinaison de plusieurs méthodes peut être nécessaire pour la recherche rapide des zéros d’une fonction.
Remarque
La méthode de point fixe et la méthode de Newton peuvent être utilisés pour la recherche des zéro des fonctions
Ainsi la méthode de point fixe revient à construire une suite
Dans ce cadre la méthode de Newton s’écrit par
Biblio
- Filbet, Francis. Analyse numérique-Algorithme et étude mathématique-2e édition: Cours et exercices corrigés. Dunod, 2013.