Dans ce texte on présente quelques méthodes d’approximation de l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle \([a,b]\). Cela s’avère très utile pour les fonctions intégrables dont on ne connaît pas de primitives, ou, encore, si on connaît seulement les valeurs de la fonction à intégrer dans un nombre fini des points.
Généralités
Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) une fonction continue. On se propose d’approcher la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_a^b f(x) dx\) à l’aide d’une formule d’intégration numérique de la forme suivante :
\begin{equation} \tag{I}\label{eq-I} I_{[a, b]}(f) = (b - a) \sum_{i = 0}^m w_i f(x_i), \end{equation}
où \((x_i)_{0 \le i \le m}\) sont \(m + 1\) nombres réels distincts (supposés ordonnés en ordre croissant) de l’intervalle \([a, b]\) et \(w_i\) sont des nombres réels.
Exemples
-
la méthode des rectangles à gauche
\(I_{[a, b]}(f) = (b - a) f(a)\)
- \(m = 0\)
- \(x_0 = a\)
- \(w_0 = 1\)
-
la méthode des rectangles à droite
\(I_{[a, b]}(f) = (b - a) f(b)\)
- \(m = 0\)
- \(x_0 = b\)
- \(w_0 = 1\)
-
la méthode des rectangles centrés
\(I_{[a, b]}(f) = (b - a) f\left(\frac{a + b}{2}\right)\)
- \(m = 0\)
- \(x_0 = \frac{a + b}{2}\)
- \(w_0 = 1\)
-
la méthode des trapèzes
\(I_{[a, b]}(f) = (b - a) \left(\frac{1}{2}f(a) + \frac{1}{2} f(b) \right)\)
- \(m = 1\)
- \(x_0 = a,\ x_1 = b\)
- \(w_0 = w_1 = \frac{1}{2}\)
-
la méthode de Simpson
\(I_{[a, b]}(f) = (b - a) \left(\frac{1}{6}f(a) + \frac{2}{3} f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{6} f(b)\right)\)
- \(m = 2\)
- \(x_0 = a,\ x_1 = \frac{a + b}{2},\ x_2 = b\)
- \(w_0 = w_2 = \frac{1}{6}, w_1 = \frac{2}{3}\)
Remarque
La formule d’intégration numérique \(I_{[a, b]}\) définie par \eqref{eq-I} est une forme linéaire sur l’espace des fonctions continues sur l’intervalle \([a, b]\), c’est-à-dire que pour tout nombres réels \(\lambda\), \(\mu\) et pour toutes fonctions \(f, g \in C([a, b])\) on a: \[I_{[a,b]}(\lambda f + \mu g) = \lambda I_{[a, b]}(f) + \mu I_{[a, b]}(g).\]
Définition
On dit que la méthode d’intégration numérique \(I_{[a, b]}\) est exacte pour la fonction \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) si \[ \int_a^b f(x) dx = I_{[a, b]}(f). \]
On dit que la méthode d’intégration numérique \(I_{[a, b]}\) est une méthode d’ordre \(\boldsymbol{N}\) si elle est exacte pour tout polynôme de \(\mathbb{R}^N[x]\) et elle est inexacte pour au moins un polynôme de \(\mathbb{R}^{N + 1}[x].\)
Proposition
Soit \(n \in \mathbb{N}\). La méthode d’intégration numérique \(I_{[a,b]}\) est exacte pour tous les polynômes de \(\mathbb{R}^n[x]\) si et seulement si elle est exacte pour les polynômes de la base canonique \(\{1, \ x,\ \cdots, x^n\}\).
Démonstration.
L’implication directe est immédiate.
Supposons donc que pour tout \(0 \le i \le n\) la formule d’intégration est exacte pour \(x^i\), i.e. \[ \int_a^b x^i dx = I_{[a, b]}(x^i). \] Soit \(\displaystyle P = \sum_{i=0}^n a_i x^i \in \mathbb{R}^n[x]\). Alors,
\begin{align*}
\int_a^b P(x) dx & = \int_{a}^b \sum_{i=0}^n a_i x^i dx = \sum_{i = 0}^n a_i \int_a^b x^i dx \\\
& = \sum_{i = 0}^n a_i I_{[a, b]}(x^i) = \sum_{i = 0}^n a_i (b - a) \sum_{j = 0}^m w_j (x_j)^i \\\
& = (b - a) \sum_{j = 0}^m w_j \sum_{i = 0}^n a_i (x_j)^i = (b - a) \sum_{j = 0}^m w_j P(x_j) \\\
& = I_{[a, b]}(P).
\end{align*}
Théorème
Soit \(N \in \mathbb{N}^*\) et \(f \in C^{N + 1}([a, b])\). Soit \(m \in \mathbb{N}\) et \((x_i)_{0 \le i \le m}\) \(m + 1\) nombres réels distincts (supposés en ordre croissant) de l’intervalle \([a, b]\). Supposons que la formule d’intégration numérique \(I_{[a, b]}\) donnée par \eqref{eq-I} est exacte pour tous les polynômes de \(\mathbb{R}^N[x]\).
Alors \[\left|\int_a^b f(x) dx - I_{[a, b]}(f)\right| \le \frac{(b - a)^{N + 1}}{N!} \left(1 + \sum_{i=0}^m |w_i|\theta_i^N \right) \int_a^b |f^{(N+1)}(x)| dx,\] où \(\theta_i \in [0, 1]\) sont tels que \(x_i = a + \theta_i (b - a)\).
Avant de démontrer ce théorème, nous allons démontrer la formule de Taylor avec reste intégral:
Lemme (formule de Taylor avec reste intégral)
Soit \(f \in C^{N+1}([a, b])\). Alors pour tout \(x \in [a, b]\) \[f(x) = \sum_{k = 0}^{N}\frac{1}{k!} (x-a)^{k} f^{(k)}(a) + \int_{a}^{x} \frac{1}{N!} (x-t)^{N} f^{(N + 1)}(t) dt.\]
Démonstration du lemme.
Pour tout \(n \in \{0, 1, \cdots, N\}\) on note \[ P(n): \qquad f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{k!} (x-a)^{k} f^{(k)}(a) + \int_{a}^{x} \frac{1}{n!} (x-t)^{n} f^{(n + 1)}(t) dt. \]
Il est facile à voir que \(P(0)\) s’écrit \[f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f'(t) dt,\] ce qui n’est rien d’autre que le théorème fondamental de l’analyse. Soit \(n \in \{1,\cdots, N\}\). Supposons \(P(n - 1)\) vraie, c’est-à-dire: \[ P(n-1): \qquad f(x) = \sum_{k = 0}^{n-1}\frac{1}{k!} (x-a)^{k} f^{(k)}(a) + \int_{a}^{x} \frac{1}{(n - 1)!} (x-t)^{(n - 1)} f^{(n)}(t) dt. \] En intégrant par parties, le terme de reste s’écrit
\begin{align*}
\int_{a}^{x} \frac{1}{(n - 1)!} (x-t)^{(n - 1)} f^{(n)}(t) dt = -\int_{a}^{x} \frac{1}{(n - 1)!} \left(\frac{(x-t)^{n}}{n}\right)' f^{(n)}(t) dt \\\
= - \frac{1}{n!} \left[ (x - t)^n f^{(n)}(t)\right]_{a}^x + \int_a^x \frac{1}{n!} (x - t)^n f^{(n + 1)}(t)dt \\\
= \frac{1}{n!} (x- a)^{n} f^{(n)}(a) + \int_{a}^{x} \frac{1}{n!} (x - t)^{n} f^{(n + 1)} dt.
\end{align*}
Cela implique que \(P(n)\) est vraie. Par récurrence, \(P(N)\) est vraie également.
Remarque
A l’aide de la fonction partie positive \[x_{+} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \textrm{ si } x \ge 0 \\ 0, & \textrm{sinon} \end{array} \right.\] et de la convention \[x_{+}^{0} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \textrm{ si } x \ge 0 \\ 0, & \textrm{sinon} \end{array} \right.\] la formule de Taylor avec reste intégral s’écrit \[f(x) = \sum_{k = 0}^{N}\frac{1}{k!} (x-a)^{k} f^{(k)}(a) + \int_{a}^{b} \frac{1}{N!} (x-t)_{+}^{N} f^{(N + 1)}(t) dt.\]
Démonstration du théorème.
En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral on écrit \(f(x) = P_{N}(x) + g(x)\) où \(P_{N} \in \mathbb{R}^{N}[x]\) est donné par \[ P_{N}(x) = \sum_{k = 0}^{N}\frac{1}{k!} (x-a)^{k} f^{(k)}(a) \] et \[ g(x) = \int_{a}^{b} \frac{1}{N!} (x-t)_{+}^{N} f^{(N + 1)}(t) dt. \]
Alors
\begin{align*}
\left| \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{[a, b]}(f)\right| & = \left| \int_{a}^{b} (P_{N}(x) + g(x)) dx - I_{[a, b]}(P_{N} + g)\right| \\\
& = \left| \int_{a}^{b} P_{N}(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx - I_{[a, b]}(P_{N}) + I_{[a, b]}(g)\right|.
\end{align*}
En tenant compte que par hypothèse la formule d’intégration \(I_{[a,b]}\) est exacte pour tous les polynômes de \(\mathbb{R}^{N}[x]\), la relation précédente devient
\begin{align*}
&\left| \int_{a}^{b} f(x) dx - I_{[a, b]}(f)\right| = \left| \int_{a}^{b} g(x) dx - I_{[a, b]}(g)\right| \\\
&= \left| \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \frac{1}{N!} (x-t)_{+}^{N} f^{(N + 1)}(t) dt dx - (b-a) \sum_{i = 0}^{m} w_{i} \int_{a}^{b} \frac{1}{N!} (x_{i}-t)_{+}^{N} f^{(N + 1)}(t) dt\right|\\\
& = \frac{1}{N!} \left| \int_{a}^{b} f^{(N+1)}(t) \int_{a}^{b} (x - t)_{+}^{N}dx dt - \int_{a}^{b} f^{(N+1)}(t) \sum_{i = 0}^{m} w_{i} \int_{a}^{b} (x_{i} - t)_{+}^{N} dx dt \right| \\\
& \le \frac{1}{N!} \int_{a}^{b} \left| f^{(N+1)} \right| \left|\int_{a}^{b} (x-t)_{+}^{N} dx - \sum_{i=0}^{m} w_{i} \int_{a}^{b}(x_{i} - t)_{+}^{N} dx\right| dt.
\end{align*}
De plus,
\begin{align*}
&\left|\int_{a}^{b} (x-t)_{+}^{N} dx - \sum_{i=0}^{m} w_{i} \int_{a}^{b}(x_{i} - t)_{+}^{N} dx\right| \\\
&\le \int_{a}^{b} (x-t)_{+}^{N} dx - \sum_{i=0}^{m} |w_{i}| \int_{a}^{b}(x_{i} - t)_{+}^{N} dx \\\
&\le \int_{a}^{b} (x-a)^{N} dx - \sum_{i=0}^{m} |w_{i}| (b - a) (x_{i} - a)_{+}^{N} dx \\\
&\le (b - a)^{N + 1} + \sum_{i = 0}^{m} |w_{i}| (b - a)^{N + 1} \theta_{i}^{N} = \\\
&= (b - a)^{N + 1} \left( 1 + \sum_{i = 0}^{m} |w_{i}| \theta_{i}^{N} \right).
\end{align*}
La conclusion du théorème suit en combinant les inégalités précédentes.
Méthodes de Newton-Cotes
Si dans la formule d’intégration numérique \eqref{eq-I} on considère \[x_i = a + \frac{(b - a)i}{m} \qquad 0 \le i \le m\] et
\begin{equation}\label{eq-w} w_i = \frac{1}{b - a} \int_a^b L_i(x) dx\end{equation}
avec \(\{L_0, L_1, \cdots L_m\}\) la base de Lagrange associée aux points \((x_i)_{0 \le i \le m}\), on dit que la formule d’intégration numérique \(I_{[a, b]}\) est une formule d’intégration numérique de type Newton-Cotes. Cela reviendra donc à approcher la fonction \(f\) par son polynôme de Lagrange associé aux réels \((x_i)_{0 \le i \le m}\) partageant l’intervalle \([a, b]\) en \(m\) intervalles de longueur \(\frac{b - a}{m}\).
Remarque
Si \(f \in \mathbb{R}^m[x]\) alors la formule d’intégration numérique de Newton-Cotes à \(m+1\) points est exacte pour \(f\). Cela est une conséquence du fait que \(f\) coïncide avec sont polynôme de Lagrange.
Proposition
Pour une valeur fixée de \(m\), les coefficients \(w_i\) donnés par \eqref{eq-w} ne dépendent pas de l’intervalle \([a, b]\).
Démonstration.
On fait d’abord le changement de variable \( \displaystyle y = \frac{1}{b - a}(2x - a - b)\) pour ramener le calcul des coefficients \(w_i\) aux calcul d’intégrales sur l’intervalle \([0, 1]\):
\begin{align}
w_i & = \frac{1}{b - a} \int_a^b L_i(x) dx = \frac{1}{b - a} \int_{-1}^1 L_i\left(
\frac{1}{2}((b - a)y + a + b)
\right) \frac{b - a}{2} dy \notag \\\
& = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 L_i\left(
\frac{1}{2}((b - a)y + a + b)
\right) dy. \label{eq-wi-ab}
\end{align}
Soit \((y_i)_{0 \le i \le m}\) \(m + 1\) réels dans l’intervalle
\([-1, 1]\) donnés par \(y_i = -1 + \frac{2i}{m}\) et soit \(\{\overline{L_0},\ \cdots,
\overline{L_m}\}\) la base de Lagrange associée aux nombres
\((y_i)_{0 \le i \le m}\). Pour chaque \(0 \le i \le m\) on a
\[y_i = \frac{2x_i - a - b}{b - a}\] et
\begin{align}
\overline{L_i}(y) & = \prod_{j = 0, \ j \ne i}^{m} \frac{y - y_j}{y_i - y_j} \notag\\\
& = \prod_{j = 0, \ j \ne i}^{m} \frac{y - \frac{2x_j - a - b}{b - a}}{\frac{2x_i - a - b}{b - a} - \frac{2x_j - a - b}{b - a}} \notag\\\
& = \prod_{j = 0, \ j \ne i}^{m} \frac{(b - a)y - 2x_j + a + b}{2(x_i - x_j)} \notag\\\
& = \prod_{j = 0, \ j \ne i}^{m} \frac{\frac{1}{2}((b - a)y + a + b) - x_j}{x_i - x_j} \notag\\\
& = L_i\left(
\frac{1}{2}((b - a)y + a + b)
\right). \label{eq-wi-11}
\end{align}
En combinant \eqref{eq-wi-ab} et \eqref{eq-wi-11} on obtient que \[w_i = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \overline{L_i}(y) dy = \overline{w_i},\] donc les coefficients \(w_i\) apparaissant dans la formule d’intégration numérique de Newton-Cotes ne dépendent pas de l’intervalle d’intégration.
Proposition
Soient \((y_i)_{0 \le i \le m}\) les nombres réels dans l’intervalle \([-1, 1]\) donnés par \(y_i = -1 + \frac{2i}{m}\). Avec les notations précédentes, les affirmations suivantes sont vraies pour tout \(0 \le i \le m\):
- \(y_{m - i} = -y_{i}\)
- \(\overline{L_i}(y) = \overline{L_{m - i}}(-y)\)
- \(w_i = w_{m - i}\).
Démonstration.
-
A l’aide de la définition on a
\begin{align*} y_{m - i} & = - 1 + \frac{2(m - i)}{m} = - 1 + 2 - \frac{2i}{m} \\\
& = 1 - \frac{2i}{m} = - \left( -1 + \frac{2i}{m} \right) = -y_{i}. \end{align*} -
On a:
\begin{align*} \overline{L_{i}}(y) & = \prod_{j = 0, \ j \ne i}^{m} \frac{y - y_j}{y_i - y_j} \\\
& = \prod_{j = 0, \ j \ne i}^{m} \frac{y + y_{m - j}}{-y_{m - i} + y_{m - j}} \\\
& = \prod_{j = 0, \ j \ne m - i}^{m} \frac{y + y_j}{-y_{m - i} + y_j} \\\
& = \prod_{j = 0, \ j \ne m - i}^{m} \frac{-y - y_j}{y_{m - i} - y_j} \\\
& = \overline{L_{m-i}}(-y). \end{align*} -
Effectivement, on obtient rapidement
\begin{align*} w_{i} &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{}{1} \overline{L_{i}}(y) dy \\\
& = \frac{1}{2} \int_{-1}^{}{1} \overline{L_{m - i}}(-y) dy \\\
& = \frac{1}{2} \int_{-1}^{}{1} \overline{L_{m - i}}(y) dy \\\
& = w_{m - i}. \end{align*}
Une consequence rapide de la proposition précédente est le résultat suivant:
Théorème
Soit \(m\) un entier naturel pair. Alors la méthode d’intégration numérique de Newton-Cotes \(I_{[a, b]}\) est de l’ordre \(m + 1\).
Démonstration.
Nous avons vu que \(\displaystyle \int_{-1}^{1} p(x) dx = I_{[-1, 1]}(p)\) pour tout polynôme \(p \in \mathbb{R}^{m}[x]\). De plus, \(\displaystyle \int_{-1}^{1} x^{m + 1} dx = 0\) et
\begin{align*}
I_{[-1,1]}(x^{m + 1}) =& 2 \sum_{i=0}^{m} w_{i} (x_{i})^{m+1} \\\
& = 2 \sum_{i=0}^{m} w_{m - i} (-x_{m - i})^{m+1} \\\
& = -2 \sum_{i=0}^{m} w_{m - i} (x_{m - i})^{m+1} \\\
& = -2 \sum_{i=0}^{m} w_{i} (x_{i})^{m+1} \\\
& = -I_{[-1,1]}(x^{m + 1}),
\end{align*}
ce qui implique que \(\displaystyle I_{[-1, 1]}(x^{m+1}) = 0 = \int_{-1}^{1} x^{m+1} dx\). Donc, la formule d’intégration numérique \(I_{[-1, 1]}\) est exacte pour tout polynôme de \(R^{m+1}[x]\). La conclusion suit du fait que \(\displaystyle I_{[-1,1]}(x^{m+2}) \ne \int_{-1}^{1}x^{m+2} dx\) et que le calcul d’une intégrale sur \([a, b]\) se reduit au calcul d’une intégrale sur \([-1, 1]\).
Méthode de Gauss-Legendre à deux points
Soit \(f : [-1, 1] \to \mathbb{R}\) une fonction continue.
On cherche \(\omega_0\), \(\omega_1\) dans \(\mathbb{R}\) et \(x_0,\ x_1 \in [-1, 1]\) deux nombres distincts (\(x_0 < x_1\)) tels que la méthode d’intégration numérique \[I_G(f) = \omega_0 f(x_0) + \omega_1 f(x_1)\] soit exacte pour les polynômes de \(\mathbb{R}^3[x]\). Cela est équivalent au fait que \(I_G\) soit exacte pour les polynômes de la base canonique de \(\mathbb{R}^3[x]\): \(1\), \(x\), \(x^2\) et \(x^3\).
On a
\begin{align*}
2 &= \int_{-1}^1 dx = I_G(1) = \omega_0 + \omega_1 \\\
0 &= \int_{-1}^1 x dx = I_G(x) = \omega_0 x_0 + \omega_1 x_1\\\
\frac{2}{3} &= \int_{-1}^1 x^2 dx = I_G(x^2) = \omega_0 x_0^2 + \omega_1 x_1^2\\\
0 &= \int_{-1}^1 x^3 dx = I_G(x^3) = \omega_0 x_0^3 + \omega_1 x_1^3.\\\
\end{align*}
La première équation n’est rien d’autre que:
\begin{align*} & \omega_1 = 2 - \omega_0 \end{align*}
et, avec ceci, les trois équations suivantes s’écrivent:
\begin{align*}
& \omega_0 (x_0 - x_1) + 2 x_1 = 0 \Longrightarrow \omega_0 (x_0 - x_1) = - 2x_1\\\
& \omega_0 (x_0^2 - x_1^2) + 2 x_1^2 = \frac{2}{3}\\\
& \omega_0 (x_0^3 - x_1^3) + 2 x_1^3 = 0.
\end{align*}
En remplaçant la première équations dans les deux suivantes on obtient:
\begin{align*}
& -2x_1 (x_0 + x_1) + 2 x_1^2 = \frac{2}{3} \Longrightarrow x_0 x_1 = -\frac{1}{3}\\\
& -2x_1 (x_0^2 + x_0x_1 + x_1^2) + 2x_1^3 = 0 \Longrightarrow - x_0^2 - x_0 x_1 = 0\\\
\end{align*}
ou encore, \(x_0^2 = \frac{1}{3}\) et donc \(x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\). Cela implique \(x_1 = \mp \frac{1}{\sqrt{3}}\) et comme nous avons supposé \(x_0 < x_1\) on trouve \[x_0 = - \frac{1}{\sqrt{3}} \qquad x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}.\] Ensuite, on obtient facilement \(\omega_0 = \omega_1 = 1\). Ainsi, \[I_G(f) = f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).\] Pour une compatibilité avec les notations utilisées pour les formules d’intégration de Newton-Cotes, on peut écrire cette formule d’intégration sous la forme équivalente suivante: \[ I_G(f) = 2 \left( \frac{1}{2} f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{2}f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right). \]
Il est facile à voir que cette formule d’intégration numérique n’est pas exacte pour les polynômes de degré 4, donc \(I_G\) est une formule d’intégration numérique d’ordre 3.
Cette formule élémentaire peut être utilisée pour approcher l’intégrale d’une fonction continue \(f\) sur un intervalle \([a, b]\) par la formule d’intégration composée suivante:
\[ I_G^C(f) = \frac{h}{2} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( f\left(a + \left(i + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)\right) + f\left(a + \left(i + \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)\right) \right). \]
Exercice 1
Ce que ça donne la formule de Gausse-Legendre à un seul point?
On cherchera le poids \(\omega_0\) et le point \(x_0 \in [-1, 1]\), tels que la formule d’intégration suivante \[ I_G(f) = \omega_0 f(x_0) \] soit exacte pour l’approximation de l’intégrale \(I(f) = \int_{-1}^1 f(x) dx\) pour tout polynôme de \(\mathbb{R}^1[x]\).
Exercice 2
Ce que ça donne la formule de Gausse-Legendre à trois points?
On cherchera le poids \(\omega_i\) et le points \(x_i \in [-1, 1]\), tels que la formule d’intégration suivante \[ I_G(f) = \omega_0 f(x_0) + \omega_1 f(x_1) + \omega_2 f(x_2) \] soit exacte pour l’approximation de l’intégrale \(I(f) = \int_{-1}^1 f(x) dx\) pour tout polynôme de \(\mathbb{R}^5[x]\).
Indication: utiliser du calcul formel et sympy.
La méthode de Gauss-Legendre peut être adapté à un nombre quelconque de points. Pour des détails voir le chapitre 3 du livre [1].
Méthodes d’intégration numérique composées
Pour diminuer l’erreur d’une méthode d’intégration numérique on peut envisager deux stratégies:
- augmenter le nombre \(m\) de points à l’intervalle \([a, b]\)
- diminuer \(b - a\)
Tandis que la première stratégie peut être affectée par le phénomène de Rünge, la deuxième stratégie peut être mise en place à l’aide des méthodes d’intégration numérique composées.
Le but est toujours d’approcher la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx\). Pour cela, on considère les \(M + 1\) nombres \(a_{i}\) donnés par \[a_{i} = a + i h, \qquad h = \frac{b - a}{M}\] et les nombres \((x_{i}^{j})_{0 \le i < M, \ 0 \le j \le m}\) donnés par \[ x_{i}^{j} = a_{i} + \theta_{j} h, \quad 0 \le i \le M-1, \ 0 \le j \le m,\] avec \((\theta_j)_{0 \le j \le m}\) des nombres dans \([0, 1]\).
On considère l’approximation suivante de l’intégrale de \(f\) sur \([a,b]\):
\begin{align*}
I(f) & = \sum_{i=0}^{M-1} I_{[a_{i}, a_{i+1}]}(f) \\\
& = h \sum_{i=0}^{M-1} \sum_{j=0}^{m} w_{j} f(x_{i}^{j}).
\end{align*}
Théorème
Soit \(N \in \mathbb{N}\) et \(f \in C^{N + 1}([a, b])\). Soit \(M \in \mathbb{N}^{*}\) et \(a_i = a + ih\) pour \(0 \le i \le M\) avec \(h = \dfrac{b - a}{M}\). Supposons que la méthode d’intégration numérique \[I_{[a, b]}(f) = (b - a) \sum_{j = 0}^m w_j f(a + \theta_j (b - a))\] est exacte pour les polynômes de \(\mathbb{R}^N[x]\). Alors, la méthode d’intégration composée
\begin{equation} I(f) = h \sum_{i = 0}^{M - 1} \sum_{j = 0}^m w_j f(a_i + \theta_j h) \end{equation}
vérifie
\begin{equation} \left|\int_a^b f(x) dx - I(f)\right| \le \frac{h^{N + 1}}{N!} \left( 1 + \sum_{j=0}^m |w_j| \theta_j^N\right) \int_a^b |f^{(N + 1)}(x)| dx. \end{equation}
Démonstration.
La preuve du théorème est immédiate en appliquant l’estimation de l’erreur pour la formule d’intégration numérique simple correspondante. Plus précisement, on a
\begin{align*}
\left| \int_{a}^{b} f(x) dx - I(f)\right| & = \left| \sum_{i=0}^{M-1} \int_{a_{i}}^{a_{i+1}} f(x) dx - \sum_{i = 0}^{M-1} I_{[a_{i}, a_{i+1}]}(f)\right| \\\
& \le \sum_{i= 0}^{M-1} \left| \int_{a_{i}}^{a_{i+1}} f(x) dx - I_{[a_{i}, a_{i+1}]}(f)\right| \\\
& \le \sum_{i=0}^{M-1} \frac{h^{N+1}}{N!} \left(1 + \sum_{j=0}^{m} |w_{j}| \theta_{j}^{N}\right) \int_{a_{i}}^{a_{i+1}} \left| f^{(N+1)}(x) \right| dx \\\
& = \frac{h^{N+1}}{N!} \left(1 + \sum_{j=0}^{m} |w_{j}| \theta_{j}^{N} \right) \int_{a}^{b} \left| f^{(N+1)}(x) \right| dx.
\end{align*}
Exemples
\[h = \frac{b - a}{M} \]
\[a_{i} = ih, \qquad 0 \le i \le M.\]
- méthode des rectangles à gauche \[ I^{RG}(f) = h \sum_{i = 0}^{M - 1} f(a_i) \]
- méthode des rectangles à droite \[ I^{RD}(f) = h \sum_{i = 1}^{M} f(a_i) \]
- méthode des trapèzes \[ I^{T}(f) = h \sum_{i = 0}^{M-1} \frac{f(a_i) + f(a_{i + 1})}{2} \]
- méthode de Simpson \[ I^{S}(f) = \frac{h}{6}\sum_{i = 0}^{M-1} \left( f(a_i) + 4 f\left(\frac{a_i + a_{i + 1}}{2}\right) + f(a_{i + 1})\right) \]
Biblio
- Demailly, Jean-Pierre. Analyse numérique et équations différentielles-4ème Ed. EDP sciences, 2016.
- Filbet, Francis. Analyse numérique-Algorithme et étude mathématique-2e édition: Cours et exercices corrigés. Dunod, 2013.