Projet ANR JCJC HASCON (2019 - 2023)

Analyse Harmonique pour des Semigroupes sur des Espaces L^p Commutatifs et Non-commutatifs

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Table des matières

1 Membres

• Cédric Arhancet
• Luc Deleaval
• Adrián González-Pérez (postdoctorant année universitaire 2019-2020)
• Christoph Kriegler (coordinateur du projet)

2 Mots clés de recherche

• Analyse harmonique
• Semigroupes d’opérateurs
• Géométrie non-commutative
• Calcul fonctionnel
• Opérateurs maximaux
• Espaces L^p non-commutatifs
• Espaces d’opérateurs
• Transformées de Riesz
• Intégrales singulières
• Geometrie des espaces de Banach
• Multiplicateurs de Fourier sur des groupes et multiplicateurs de Schur
• R-bornitude

3 Présentation du projet

Depuis les travaux fondamentaux de Stein et Cowling, la théorie spectrale des semigroupes est devenue un sujet mathématique large et beaucoup de mathématiciens y travaillent aujourd’hui. Beaucoup de progrès a été obtenu pendant les quatre dernières décennies, beaucoup de belles connections se sont avérées fructueuses pour résoudre des problèmes dans l’analyse harmonique et autour. Le but du projet HASCON est de répondre aux questions suivantes qui émergent dans le contexte de théorie spectrale, calcul fonctionnel, analyse harmonique ou équations aux dérivées partielles abstraites :

1. Sous quelles conditions (p.ex. quel espace L^p ou de Banach classique ou non-commutatif soujacent) un générateur d’un semigroupe admet-il un calcul H^∞ ou un calcul fonctionnel de type Hormander-Mihlin? Cette propriété est connue d’être de grande importance dans des aspects théoriques et pour beaucoup d’applications. La réponse dépend de l’espace soujacent X, qui peut être composé de fonctions sur un espace mesuré Ω (souvent L^p(Ω), ou également un espace L^p non-commutatif, c’est-à-dire un espace qui consiste d’opérateurs (non) bornés affiliés à une algèbre de von Neumann). Ici des propriétés géométriques de l’espace de Banach X jouent typiquement un rôle important, et nous mettons une attention particulière à des espaces de Bochner X = L^p(Ω,Y ). Alors la propriété de Y d’être un espace UMD devient importante et de même son type et cotype de Rademacher ainsi que des notions reliées comme p-convexité et q-concavité si Y est de plus un treillis. Notre motivation pour des espaces de Bochner provient de leur importance dans des applications à des problèmes abstraits de Cauchy, où Y reprend le rôle d’une variable spatiale, alors que la variable temporelle est le paramètre t du semigroupe T_t ; importance pour des estimations de fonctions carrées, où Y = ℓ² (alors la question intéressante de calcul fonctionnel fait intervenir une suite de multiplicateurs spectraux (f_k)_k); et puis importance pour la description d’espaces de fonctions abstraits associés au générateur, tel que des espaces de Sobolev et Triebel-Lizorkin, où Y = ℓ^q.
2. Dans quels cas un opérateur maximal d’évolution, dans la forme la plus classique M_Tf = sup_t>0|T_tf| ou opérateur maximal spatial M_HLf = sup_r>0∫ _B(x,r)|f(y)|dy est-il borné? Cette question et le calcul fonctionnel ci-dessus sont fortement liés et se renforcent mutuellement. Ainsi, d’un côté, un calcul H^∞ avec un bon angle permet d’étendre la bornitude de l’opérateur maximal d’evolution sur L^p(Ω) ci-dessus à un opérateur maximal sectoriel. Ensuite sous la présence d’estimation de noyau d’intégrale de T_t, les opérateurs maximaux d’évolution et spatial sont simultanément bornés. D’un autre côté, la bornitude d’un opérateur maximal est parfois un outil clé pour établir un calcul H^∞ et Hormander-Mihlin. Encore une fois, nous mettons une attention particulière à la bornitude de M_HL,M_T dans des espaces de Bochner. D’un point de vue général, les opérateurs maximaux standard sont importants dans plusieurs branches d’analyse harmonique et réelle (p.ex. intégrales singulières, multiplicateurs, théorie de Littlewood-Paley).
3. Quel type d’opérations sur un espace L^p non-commutatif produit des applications bornées et complètement bornées? Les exemples les plus éminents de telles applications qui sont importantes en analyse harmonique sont des multiplicateurs de Schur, des multiplicateurs de Fourier non-commutatifs ou des opérations provenantes de la seconde quantisation, tels que les semigroupes de q-Ornstein-Uhlenbeck. Les multiplicateurs de Schur fournissent une classe surprenamment riche d’applications et sont utilisés depuis longtemps dans des domaines variés en analyse tels que l’analyse complexe, les espaces de Banach, la théorie des opérateurs, l’analyse multivariée, la théorie des opérateurs absolument sommants et le calcul fonctionnel. Les multiplicateurs de Fourier sur des groupes non-commutatifs et la seconde quantisation sont des domaines plutot récents en analyse harmonique. L’analyse harmonique non-commutative fait intervenir plus de structure algébrique et combinatoire.

4 Évènements

Les Jeudi 20 octobre - Vendredi 21 octobre 2022 a eu lieu la rencontre à l’université Paris-Est Marne-la-Vallée intitulée

Le thème de cette rencontre étaient des techniques en analyse harmonique qui s’appliquent avec succès dans la théorie L^p des opérateurs (calcul fonctionnel, semigroupes d’opérateurs, opérateurs maximaux, fonctions carrées) – et récemment ont pu être adapté dans un contexte non-commutatif tel que des multiplicateurs de Fourier sur des groupes localement compacts et des multiplicateurs de Schur. Il y avait quatre + sept exposés de 60 min + 30 min et comme coutume du temps pour des discussions. Le programme était le suivant.

Voici la liste des participants à jour le 28/09/2022.

1. Benjamin Arras
2. Sebastian Bechtel
3. Clément Coine
4. Lukas Hagedorn
5. Kamal Khalil
6. Fatima Zahra Lahbriri
7. Christian Le Merdy
8. Éric Ricard
9. Silvia Romanelli
10. Elizabeth Strouse
11. Alexandre Thorel
12. Safoura Zadeh

5 Publications et Prépublications

1. L. Deleaval et C. Kriegler : Dunkl spectral multipliers with values in UMD lattices, Journal of Functional Analysis, 272(5) :2132–2175, 2017. Préprint ici et sur HAL.
2. L. Deléaval et C. Kriegler : Dimension free bounds for the vector-valued Hardy-Littlewood maximal operator, Rev. Mat. Iberoam., 35(1) :101–123, 2019. Préprint sur HAL, arxiv.org.
3. L. Deléaval, M. Kemppainen et C. Kriegler : Hörmander functional calculus on UMD lattice valued L^p spaces under generalised Gaussian estimates, Journal d’Analyse Mathématique, 145(1), 177–234, 2021. Préprint ici, sur HAL et sur arXiv.org.
4. C. Arhancet et C. Kriegler : Complementation of the subspace of radial multipliers in the space of Fourier multipliers on ℝⁿ, Archiv der Mathematik, 112(1), 93–100, 2019. Préprint sur HAL, arXiv.org.
5. C. Arhancet et C. Kriegler : Projections, multipliers and decomposable maps on noncommutative L^p-spaces, à paraître dans Mémoires de la Société Mathématique de France, 177 (nouvelle série). Préprint sur HAL et sur arXiv.org.
6. C. Arhancet et C. Kriegler : Riesz transforms, Hodge-Dirac operators and functional calculus for multipliers, Springer Lecture Notes in Mathematics, 2304. Springer, 2022, Cham, xii+278 pp. Préprint sur HAL et sur arXiv.org.
7. C. Arhancet : Dilations of markovian semigroups of Fourier multipliers on locally compact groups, Préprint sur arXiv.org.
8. K. Domelevo, C. Kriegler et S. Petermichl : H^∞ calculus for submarkovian semigroups on weighted L² spaces Mathematische Annalen, 381(3-4), 1137–1195, 2021. Préprint sur HAL et arXiv.org.
9. C. Arhancet : Positive contractive projections on noncommutative L^p-spaces, Préprint sur arXiv.org.
10. C. Arhancet : Contractively decomposable projections on noncommutative L^p-spaces, Préprint sur arXiv.org.
11. C. Arhancet : Dilations of markovian semigroups of measurable Schur multipliers, Préprint sur arXiv.org.
12. J. Conde-Alonso, A. González-Pérez et J. Parcet : Noncommutative strong maximals and almost uniform convergence in several directions, Préprint sur arXiv.org.
13. L. Deléaval, N. Demni : Generalized Bessel functions of dihedral-type : expression as a series of confluent Horn functions and Laplace-type integral representation, The Ramanujan journal, à paraître.
14. S. Ben Saïd., L. Deléaval : Translation operator and maximal function for the (k,1)-generalized Fourier transform, soumis.
15. C. Arhancet : Contractively decomposable projections on noncommutative Lp-spaces, soumis.
16. C. Arhancet : Positive contractive projections on noncommutative Lp-spaces, soumis.
17. C. Arhancet and Yves Raynaud : 2-positive contractive projections on noncommutative Lp-spaces, soumis.
18. C. Arhancet : A characterization of completely bounded normal Jordan *-homomorphisms on von Neumann algebras, soumis.
19. C. Arhancet : Quantum information theory and Fourier multipliers on quantum groups, soumis.
20. L. Deléaval et C. Kriegler : Maximal Hörmander Functional Calculus on L^p spaces and UMD lattices, International Mathematical Research Notices, Préprint sur HAL, sur arXiv.org et ici.

Site web mis à jour le 23/02/2023.