Les fluides dont la contrainte est déterminée par la pression seule sont appelés des fluides parfaits. Le modèle sous-jacent est décrit par l'équation d'Euler, déterminée au cours du XVIII-ème siècle. Au milieu du XIX-ème siècle, Stokes et Navier propose de prendre en compte des effets visqueux qu'ils quantifient par l'expérience. Bien que de nombreux fluides peuvent effectivement être considérés comme visqueux (on les appelle des fluides newtoniens), certains fluides ne suivent pas ces lois "linéaires". De nombreux modèles plus ou moins complexes ont alors vu le jour... Un fluide visco-élastique est un de ces fluides. Pour ces modèles, on considère non seulement que le fluide est visqueux mais aussi qu'il est élastique, autrement dit qu'il possède une mémoire.

Dans des mécanismes de lubrification (comme par exemple dans des roulements à billes), les fluides sont soumis à de fortes contraintes liées à la pression interne aux fluides. Il est important de pouvoir calculer ces pressions efficacement : c'est-à-dire rapidement et précisement. Un des systèmes de base pour modéliser ce type d'écoulement correspond aux équations de Reynolds. Ces équations ne sont rien d'autre que les équations de Navier-Stokes dans lesquelles on a conservé uniquement les premiers termes d'un développement limité en fonction du rapport hauteur du domaine/longueur du domaine (en effet, dans les études de lubrification ce rapport est souvent très petit, de l'ordre de 0.001).

Le modèle FENE (finite extensibility non linear elasticity) est utilisé pour modéliser le comportement du tenseur des contraintes dans certains type de fluides visco-élastiques (essentiellement les solutions de polymères diluées). Comme son nom l'indique, le modèle schématise les chaînes de polymères par des ressorts qui ont une longueur maximale. Initialement, le modèle est plutôt vu comme un modèle probabiliste (formé d'équations différentielles stochastiques) et prend en compte des impacts stochastiques de nature brownienne sur les chaînes de polymères. C'est la version "équation aux dérivées partielles" équivalente que j'ai un peu étudié.

Le contexte physique étudié ici est similaire à celui présenté plus haut (au sujet de la pression dans des mécanismes lubrifiés). Nous avons proposé un modèle très simple à résoudre numériquement et permettant de prendre en compte des rugosités dans des écoulements minces et cisaillés. Ce modèle correspond à l'approximation au premier ordre des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles lorsque le domaine où s'écoule le fluide est infiniment mince (d'ordre µ<<1), et comporte des zones "rugueuses". Les rugosités sont schématisées par le bord du domaine décrit par des fonctions oscillantes (de fréquence et d'amplitude très petites µ²).