Baptiste Peaucelle

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Explicit small image theorem for residual modular representations, International Journal of Number theory, DOI : 10.1142/S1793042122500609 [arxiv, HAL]

Résumé
Soit $\bar{\rho}_{f,\lambda}$, la représentation galoisienne résiduelle associé à la forme nouvelle $f$ et l'idéal premier $\lambda$. Dans cet article, nous démontrons des bornes explicites pour la caractéristique résiduelle des idéaux $\lambda$ tels que $\bar{\rho}_{f,\lambda}$ est exceptionnel, c'est-à-dire réductible, d'image projective diédrale, ou d'image projective isomorphe à $\A_{4}$, $\S_{4}$ or $\A_{5}$. Nous prouvons aussi un critère explicite pour vérifier la réductibilité de $\bar{\rho}_{f,\lambda}$. Ce critère, mêlé aux bornes précédentes, nous ont permi de développer un algorithme calculant pour une forme $f$ donnée, l'ensemble des $\lambda$ tels que $\bar{\rho}_{f,\lambda}$ est réductible. Pour démontrer ces résultats, nous construisons des relèvements en caractéristique de l'opérateur $\theta$ de Katz, ainsi que des généralisations de théorèmes de type borne de Sturm.