Calcul moulien et algèbres de Hopf combinatoires

Rencontres de l’ANR Combinatoire Algébrique, Résurgence, Probabilités Libres et Opérades (CARPLO),

Besse, 14-18 octobre 2024

Dernière mise à jour : 4 octobre 2024

Le groupe de travail aura lieu à la station biologique de Besse. Les matinées sont consacrées à des exposés devant tous les participants, les après-midi sont dévolues au travail individuel ou en petits groupes.

Conférenciers et exposés prévus :

Olivier Bouillot (Marne la Vallée).

Pierre Catoire (Université d’Artois) : Théorèmes de Cartier-Quillen-Milnor-Moore pour les algèbres post-Hopf.

Les algèbres Post-Hopf sont apparues dans les travaux de Y. Li , Y. Sheng et R. Tang en 2022 en considérant l’algèbre enveloppante d’une algèbre Post-Lie. Il s’agit d’une structure d’algèbre de Hopf enrichie par une opération supplémentaire vérifiant des compatibilités de type Hopf. De plus, ce concept intervient dans divers domaines des mathématiques comme la géométrie différentielle, les recherches de solutions aux équations de Rota-Baxter et Yang-Baxter, en analyse numérique… Au vu de ces applications multiples, il est intéressant d’explorer les aspects algébriques des structures Post-Hopf moins connus. Nous pouvons alors nous demander : Quels peuvent-être les analogues des théorèmes de Cartier-Quillen-Milnor-Moore pour ces algèbres ? Pour ce faire, il faut noter que la structure associée aux primitifs d’une algèbre Post-Hopf est une structure Post-Lie et celle associée aux éléments de type groupe est celle de post-groupe. Nous énoncerons des versions du théorème de Cartier-Quillen-Milnor-Moore avec ou sans éléments de type groupe. Nous verrons quelques détails de la construction d’une algèbre post-Hopf sur les algèbres enveloppantes d’algèbres Post-Lie.

Pierre Clavier (UHA, Mulhouse).

Oscar Cosserat (Univ. Göttingen) : Caractères de l’algèbre de Connes-Kreimer et séries de Lie-Butcher pour les intégrateurs de Poisson hamiltoniens.

Vladimir Dotsenko (IRMA, Strasbourg). Opérades à boucles et l'homologie stable des algèbres de Lie de dérivations

Étant donné une opérade O, on peut étudier l'algèbre de Lie Der(O(V)) de dérivations de l'algèbre libre O(V) pour un espace vectoriel V de dimension finie. Si O est augmentée, on peut aussi considérer V comme une O-algèbre triviale, et il y a une augmentation O(V) -> V; on note Der^+(O(V)) l'algèbre de Lie de dérivations dont l'image est dans le noyau de cette augmentation. Le but principal de cet exposé est d'expliquer que, pour dim(V) suffisamment large, l'homologie de Der^+(O(V)) "stabilise" en tant que GL(V)-module. L'outil principal est la théorie des opérades à boucles, une notion que je vais préciser pendant l'exposé. Je vais aussi parler d'une relation de cette histoire avec le bicomplexe aromatique de l'exposé par Adrien Laurent.

Frédéric Fauvet (IRMA, Strasbourg).

Loïc Foissy (ULCO, Calais).

Yingtong Hou (IECL, Nancy) : Multi-indices B-series.

We propose a novel way to describe numerical methods for ordinary differential equations via the notion of multi-indice. The main idea is to replace rooted trees in Butcher’s B-series by multi-indices. The latter were introduced recently in the context of describing solutions of singular stochastic partial differential equations. The combinatorial shift away from rooted trees allows for a compressed description of numerical schemes. Moreover, these multi-indices B-series characterize uniquely the Taylor development of local and affine equivariant maps.

Paul Laubie (IECL Nancy).

Adrien Laurent (INRIA Rennes) : Le bicomplexe aromatique : un nouvel objet algébrique pour la préservation numérique du volume.

Pour l’approximation des équations différentielles, on peut créer des schémas qui préservent le volume à tout ordre fini. On se demande alors s’il existe un schéma qui préserve exactement le volume. Dans cette présentation, nous définissons les formes aromatiques et le bicomplexe aromatique, dans l’esprit du bicomplexe variationnel en géométrie différentielle, et des séries de Butcher aromatiques en analyse numérique. Nous prouvons que ce bicomplexe est exact et en déduisons une description explicite des méthodes numériques préservant le volume. Nous utilisons cette description pour montrer qu’aucune modification aromatique des méthodes de Runge-Kutta ne préserve le volume en général.

Dominique Manchon (LMBP, Clermont-Ferrand) : Algèbre de Novikov libre et algèbre de Hopf des multi-indices.

Nous donnons une formule combinatoire explicite pour le coproduit de l’algèbre de Hopf des multi-indices, dual gradué de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Novikov libre (vue comme algèbre de Lie). Travail commun avec Xing Gao et Zhicheng Zhu.

Frédéric Menous (Univ. Paris-Saclay).

Douglas Modesto (UHA, Mulhouse).

Julien Queva (Univ. Corte).

Imen Rjaiba (Université de Gabès, Tunisie).

Xiabing Ruan (IRMA, Strasbourg).

Jose Sao Joao (IRMA, Strasbourg).

Jean-Yves Thibon (LIGM Marne la Vallée).

Yannic Vargas (CUNEF Madrid).

Zhicheng Zhu (Université de Lanzhou, Chine).

Renseignements pratiques :

Exposés en français et en anglais – Talks in both french and english are accepted.

Transport : Nouveau ! un bus part de Clermont-Ferrand, gare SNCF (quai No 5) le dimanche 13 octobre à 18h45, et arrive à Besse (rue de la Gazelle) à 19h37. Pour le retour vendredi 18, une possibilité à 10h25 (arrivée 11h20). Fiche horaire 2024-2025 par ici. On peut se retrouver comme d’habitude au restaurant La Souillarde pour le repas dimanche soir (y arriver avant 20h00). Des navettes en voiture seront organisées depuis Clermont-Ferrand le 13, vers Clermont-Ferrand le 18.

Prise en charge : le logement sur place et les repas (sauf celui du dimanche soir) sont pris en charge par l’ANR CARPLO, qui devrait pouvoir aussi prendre en charge le transport.

Démarrage et fin : l'arrivée se fera le dimanche 13 octobre en début de soirée. Dîner au restaurant La Souillarde au centre-ville de Besse le soir à 19h45. Le groupe de travail commencera le lundi matin 14 octobre. Départ le vendredi 18 après-midi.

Logement et repas : Pris en charge par l’organisation. Il y a suffisamment de chambres individuelles pour tout le monde. En revanche, penser à apporter draps de bain, serviettes de toilette, savon, gel douche, etc... Les repas sont assurés (8h30, 12h30 et 19h).

Informatique : connexion wifi et imprimante.

Musique : Apportez vos instruments et/ou vos partitions (ou vos tablettes grand format) pour les soirées ! J'apporte le clavier.